牛顿--莱布尼茨公式，牛莱定理?

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），一般也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分当中的联系。 牛顿-莱布尼茨公式的主要内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。 牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。

因为二者早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

假设函数 在区间 上连续，并且存在原函数 ，则

大多数情况下指平面几何中的牛顿定理（Newtons Theorem）

牛顿线（或者说牛顿定理）：与完全四边形四边相切的有心圆锥曲线的心的轨迹是一条直线是完全四边形三条对角线中点所共的线。（涵盖了圆外切四边形的对角线中点连线过圆心的定理）

中文名

牛顿定理

外文名

Newtons Theorem

提出者

艾萨克·牛顿

适用领域

平面几何

应用学科

数学

牛顿－莱布尼茨公式

微积分基本定理

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），一般也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分当中的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的主要内容是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。 因为二者早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

基本信息

中文名牛顿-莱布尼茨公式

外文名Newton-Leibniz formula

别名微积分基本定理

提出时间

1677年

适用领域

函数

分类

数学

提出

牛顿，莱布尼茨

简介

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方式。

发展简史

1670年，英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆出题，这实质上是牛顿-莱布尼茨公式的几何表达。

1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中处理了如何按照物体的速度解答物体的位移这一问题，并讨论了如何按照这样的运算解答曲线围成的面积，第一次提出了微积分基本定理。

德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线，其纵坐标为y，假设存在一条曲线z，让dz/dx=y，则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z。[1]

证明

牛顿-莱布尼茨公式

面就是该公式的证明整个过程：

我们清楚，对函数f(x)于区间【a,b】上的定积分表达为：

b(上限)∫a（下限）f(x)dx

目前我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：

Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(x)dx

但是，这里x产生了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变化，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就很明白了：

Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt

我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：

1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。

证明：让函数Φ(x)取得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

明显，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx当中，可由定积分中的中值定理推得，

也可以自己画个图，几何意义是很了解的。)

当Δx趋向于0其实就是常说的ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义，故此，后得出Φ’(x)=f(x)。

2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。

证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（积分区间变为【a,a】，故面积为0），故此，F（a）=C

于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，故此，b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

有关人物

牛顿

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动出现的，否定了之前自己觉得的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。

定理意义

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使大家找到了处理曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的大多数情况下方式。它简化了定积分的计算，只要清楚被积函数的原函数，总可以得出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），一般也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分当中的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的主要内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，[2]1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。[1]因为二者早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简单方便的计算方式，大大简化了定积分的计算过程。

1、牛顿－莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

2、牛顿－莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿－莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

牛顿－莱布尼茨公式的用法：

1、牛顿－莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功还有物体当中的万有引力。

2、牛顿－莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，可能性论，复变函数等数学分支中都拥有反映。

扩展资料：

1、牛顿－莱布尼茨公式的主要内容是一个连续函数在区间［a，b］上的定积分等于它的任意一个原函数在区间［a，b］上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者早发现了这一公式，于是命名为牛顿－莱布尼茨公式。

2、牛顿－莱布尼茨公式，表达某函数的定积分可以用该函数的任意一个反导函数来计算。这一些是微积分或数学分析中相当重要且应用很广的一个定理，因为它大大简化了定积分的计算。