二阶线性微分方程的特解公式，二阶微分方程的特解公式表格

时间:2022-12-15来源:华宇网校作者:备考指导军队文职课程

二阶线性微分方程的特解公式？

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y+py+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1.假设f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式；2.假设f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。

1二阶常系数齐次线性微分方程

标准形式

y″+py′+qy=0

特点方程

r^2+pr+q=0

通解

1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)

3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

2特解y*设法

1、假设f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

若0不是特点值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，故此，Qm(x)设法要按照Pn（x）的情况而定。

例如假设Pn（x）=a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；假设Pn（x）=x，则设Qm(x)=ax+b；假设Pn（x）=x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特点方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*Qm(x)。

若0是特点方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*Qm(x)。

2、假设f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。

若α不是特点值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)设法要按照Pn（x）的情况而定。

若α是特点方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*Qm(x)*e^αx。

若α是特点方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*Qm(x)*e^αx。

3、假设f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。

若α±iβ不是特点值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=0，m=max{l,n}，Rm1(x)与Rm2(x)设法要按照Pl（x）或Pn（x）的情况而定（同Qm(x)设法要按照Pn（x）的情况而定的原理一样）。

即y*=[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx

若α±iβ不是特点值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=1，即y*=x*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx。

二阶微分方程的特解公式表？

第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）。第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。第三种：一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）。

拓展：二阶常系数线性微分方程是形如y+py+qy=f（x）的微分方程，这当中p，q是实常数。自由项f（x）为定义在区间I上的连续函数，即y+py+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性有关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特点方程为：λ^2+pλ+q=0，然后按照特点方程根的情况对方程解答。

二阶线性方程的特解如何求？

二阶线性微分方程的特解公式：

y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

微分特值公式？

ay''+by'+cy=f(x)。

方程组的特解怎么获取？

特解是由该矩阵经过行列变换后变为标准式，既然如此那，这个标准矩阵和原来的矩阵所代表的方程组是同解的。故此，就由标准矩阵列出同解方程组，然后得出该方程组特解。

详细解法为：

（1）将原增广矩阵行列变换为标准矩阵。

（2）按照标准行列式写出同解方程组。

（3）按列解出方程。

（4）得出特解。

线性方程组的通解由特解和大多数情况下解合成。大多数情况下解是AX=0得出来的，特解是由AX=B得出来。形式为X=η0+k*η。

非齐次线性方程组Ax=b的解答步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于

，就可以写出含n-r个参数的通解。非齐次线性方程组

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（不然为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)n。（rank(A)表示A的秩） [2]

解的结构：非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）

比如： y+2y+y=e^x(1)//:这是二阶常系数非齐次线性微分方程；它的特解就是找到一个函数y=f(x)，代入(1)后面，(1)式成立，则f(x)就是(1)的特解；

本例中，取y=f(x)=e^x/4，故将他代入(1)，得到： (e^x+2e^x+e^x)/4=e^x 4e^x/4=e^

x 即：y=f(x)=e^x/4为二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的一个特解。

微分方程特点根公式？

微分方程特点根：ay+by+cy=0，特点根法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方式。特点根法也可以用于通过数列的递推公式（即差分方程，一定要为线性）求通项公式，其实质与微分方程一样。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。