所有数列的公式,等差数列中项公式
全部数列的公式?
是应用于数学中的公式,外文名Series formula,类型为数学名词,假设一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,且每一项都不为0(常数),这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比一般用字母q表示。
假设一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差一般用字母d表示。
1、大多数情况下数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=
2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(这当中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时,an是有关n的一次式;当d=0时,an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式:Sn=Sn=Sn=
当d≠0时,Sn是有关n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是有关n的正比例式。
4、等比数列的通项公式:an=a1qn-1an=akqn-k
(这当中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1(是有关n的正比例式);
当q≠1时,Sn=Sn=
三、高中数学中相关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
3、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{anbn}、、仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3(为什么?)
11、{an}为等差数列,则(c0)是等比数列。
12、{bn}(bn0)是等比数列,则{logcbn}(c0且c1)是等差数列。
求数列通项公式经常会用到以下几种方式:
一、试题已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列,直接用其通项公式。
例子:在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求该数列的通项公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1,d=2的等差数列。故此,an=2n-1。这种类型题主要是用等比、等差数列的定义判断是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和,用公式
S1(n=1)
Sn-Sn-1(n2)
例子:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
(A)9(B)8(C)7(D)6
解:∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴52k-108∴k=8选(B)
这种类型题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时,一般用转化的方式,先得出Sn与n的关系,再由上面的(二)方式求通项公式。
例子:已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2),且a1=-,求数列{an}的通项公式。
解:∵an=SnSn-1(n2),而an=Sn-Sn-1,SnSn-1=Sn-Sn-1,两边同除以SnSn-1,得-=-1(n2),而-=-=-,∴{-}是以-为首项,-1为公差的等差数列,∴-=-,Sn=-,
再用(二)的方式:当n2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时不合适此式,故此
-(n=1)
-(n2)
四、用累加、积累的方式求通项公式
针对题中给出an与an+1、an-1的递推式子,经常会用到累加、积累的方式求通项公式。
例子:设数列{an}是首项为1的正项数列,且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求数列{an}的通项公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列,∴an+1+an≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,这n-1个式子,故将他相乘得:∴-=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方式求通项公式
试题中若给出的是递推关系式,而用累加、积累、迭代等又不易求通项公式时,可以考虑通过变形,构造出含有an(或Sn)的式子,使其成为等比或等差数列,以此得出an(或Sn)与n的关系,这是近一、二年来的高中毕业考试热点,因为这个原因不仅是重点也是难点。
例子:已知数列{an}中,a1=2,an+1=(-1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式(2)略
解:由an+1=(-1)(an+2)得到an+1-=(-1)(an-)
∴{an-}是首项为a1-,公比为-1的等比数列。
由a1=2得an-=(-1)n-1(2-),于是an=(-1)n-1(2-)+-
又例子:在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N*),证明数列{an-n}是等比数列。
证明:这道题即证an+1-(n+1)=q(an-n)(q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1,可变形为an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
故此,数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列。
若将此问改成求an的通项公式,则仍可以通过得出{an-n}的通项公式,再转化到an的通项公式上来。
又例子:设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理为1-an=-(1-an-1),又1-a1≠0,故此,{1-an}是首项为1-a1,公比为-的等比数列,得an=1-(1-a1)(-)n-1
数列中项公式?
项数公式:等差数列的项数=[(尾数-首数)/公差]+1。数列中项的总个数为数列的项数,项数是一个正整数,无穷数列没有项数。
数列中项的总数之和为数列的“项数”,在数列中,项数是一个正整数。
扩展资料
项数在等差数列中的应用:
(1)和=(首项+末项)×项数÷2;
(2)项数=(末项-首项)÷公差+1;
(3)首项=2和÷项数-末项;
(4)末项=2和÷项数-首项(以上2项为第一个推论的转换);
(5)末项=首项+(项数-1)×公差
Sn=na1+n(n-1)d/2
数列个数公式是什么?
等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d,或an=am+(n-m)d。
等比数列的通项公式是:An=A1×q^(n-1)。
任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)。等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
等比数列:一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,且每一项都不为0(常数)。这个常数叫做等比数列的公比,公比一般用字母q表示。
等差数列:一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数。而这个常数叫做等差数列的公差,公差一般用字母d表示。
1.等差数列:an=a1+(n-1)d=Sn-S(n-1)(n≥2)=kn+bSn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2an=am+(n-m)d2.等比数列:an=a1q^(n-1)=Sn-S(n-1)(n≥2
小学数列计算公式?
等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
基本概念:首项:等差数列的第一个数,大多数情况下用a1表示;
项数:等差数列的全部数的个数,大多数情况下用n表示;
公差:数列中任意相邻两个数的差,大多数情况下用d表示;
通项:表示数列中每一个数的公式,大多数情况下用an表示;
数列的和:这一数列都数字的和,大多数情况下用Sn表示.
基本思路等差数列中涉及五个量:a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,假设己知这当中三个,就可得出第四个;求和公式中涉及四个量,假设己知这当中三个,完全就能够求这第四个。
基本公式:
通项公式:an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列和公式:sn,=(a1+an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:n=(an+a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1; 公差公式:d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1)
数列万能公式?
1.等差数列:an=a1+(n-1)d=Sn-S(n-1)(n≥2)=kn+b
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
an=am+(n-m)d
2.等比数列:an=a1q^(n-1)=Sn-S(n-1)(n≥2)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) (q≠1) 或q=1,Sn=na1
an=amq^(n-m)
数列求和公式万能公式?
前n项和公式为:Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。
在等差数列中,若Sn为该数列的前n项和,S2n为该数列的前2n项和,S3n为该数列的前3n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也为等差数列。
扩展资料:
高中毕业考试对数列求和问题的考核主要有两种形式:一种是直接利用等差、等比数列的前n项和公式考核等差、等比数列的前n项和的问题;另一种是利用错位相减法、倒序相加法、裂项法、分组求和法考核非等差、等比数列的求和问题。
假设一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差经常会用到字母d表示。比如:1,3,5,7,9……(2n-1)。
等和数列公式是什么?
等差数列求和公式:Sn=(a1+an)n/2或Sn=na1+n(n-1)d/2(d为公差)。等差数列是常见数列的一种。假设一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差。
通项公式:
An=A1+(n-1)d
An=Am+(n-m)d
d是公差
等差数列的前n项和:
Sn=[n(A1+An)]/2
Sn=nA1+[n(n-1)d]/2
等差数列求和公式:等差数列的和=(首数+尾数)*项数/2;
项数的公式:等差数列的项数=[(尾数-首数)/公差]+1.