不等式证明都有哪几种方法，高等数学不等式证明中值定理的例题-华宇考试网

不等式证明都拥有哪几种方式？

高数证明不等式的方式确如楼上所说.

而用初等数学证明不等式，尤其是代数不等式，不管是技巧性还是是灵活性，都比高数方式强得多！

按我自己的体会，经常会用到的有：

(1)作差比较法.

(2)作商比较法.

(3)公式法.

(4)放缩法.

(5)分析法.

(6)归纳猜想、数学归纳法.

(7)换元法.

(8)构造.构造函数、复数、向量、数列等.

(9)反证法.

(10)综合法，即由因导果法.

(11)函数枯燥乏味性法.

(12)凸函数法.

(13)局部不等式法.

(14)增量代换法.

(15)磨光变换法.

(16)导数法.

(17)重要不等式法.如：

基本不等式；

柯西不等式；

赫尔德不等式；

排序不等式；

权方和不等式；

舒尔不等式；

贝努利不等式；

母不等式；

卡尔松不等式；

……

等等。

高等数学，不等式证明，中值定理？

当x＞1时，设f(t)＝e^t，t∈[1,x].

f(t)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，由拉格郎日中值定理，存在ξ∈(1,x)，让f'(ξ)＝(f(x)-f(1))/(x-1).

f'(x)＝e^x，故此e^ξ＝(e^x－e)/(x－1).

因为1＜ξ＜x，故此e^ξ＞e，故此(e^x－e)/(x－1)＞e，得e^x＞ex.

方式二：设f(t)＝e^t－et，t∈[1,x]，拉格郎日中值定理

(e^x－ex)/(x－1)＝e^ξ－e＞0，得到结论

方式三：取对数，设f(t)＝lnt，t∈[1,x]，拉格郎日中值定理

lnx/(x－1)＝1/ξ＜1，得lnx＜x-1，化为指数运算即得结论

高等数学不等式公式？

不等式公式

不等式公式是两头不对等的公式是一种数学用语。

基本信息

中文名

不等式公式

拼音

bú děng shì gōng shì

术语类别

数学用语

基本讲解

经常会用到的不等式的基本性质：ab,bc→ac;

ab →a+cb+c;

ab,c0 → acbc;

ab,c0→acbc;

ab0,cd0 → acbd;

ab,ab0 → 1/a1/b;

ab0 → a^nb^n;

基本不等式：√(ab)≤(a+b)/2

既然如此那，可以变为 a^2-2ab+b^2 ≥ 0

a^2+b^2 ≥ 2ab

ab≤a与b的平均数的平方

扩展：若有y=x1*x2*x3.....Xn 且x1+x2+x3+...+Xn=常数P,则Y的大值为((x1+x2+x3+.....+Xn)/n)^n

绝对值不等式公式：

| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

证明方式可利用向量，把a、b 当成向量，利用三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。

柯西不等式：

设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取等号。

排序不等式：

设a1,a2,…an；b1,b2…bn均是实数，且a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm（乱序和）≥a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（逆序和）,仅当a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn时等号成立。

证明带根号的不等式有什么方式？

或者两边同时平方

或者化简为

根号式子的大小

在两个常数当中

当然在高等数学里

求导求极值的方式也可

为什么解一元二次不等式也可以用到判别式?比如x∧2+mx+2m-3≥0在R上恒成立，这里的判别式m^？

利用初中知识就可以证明。原不等式基本上等同于证明

初中应该学过

马上有

然后利用上面说的等式，得到

补充：题主提到，这里的n不是整数。需提及的是，数学圈子里有一个约定俗成的习惯-整数一般用字母m/n/p/q之类表示，其他则大多数情况下表示实数（ w/z也经常会用到于表示复数），楼主假设不作说明，既然如此那，别人自然使用默认情形。故此尽可能不要独自自己搞一套，不方便交流；若一定要违反各位考生的习惯，那就好说明了解，免得出现歧义。假设指数为实数，可以用或者之类代替 .

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针对

实数

的情况，这个问题就差不多超过了高中的知识范围。因为针对为整数、有理数的情况的定义比较容易理解。但是无理数时，其定义就很不直观了（因为无理数后面有无穷多位不循环的小数）-无理数幂函数定义本身就涉及到无穷-

既然，涉及到无穷，就进入了高等数学范畴

，自然就要用到极限之类的知识（导数、无穷级数）。

上面证明了n为正整数情形，只证明为正有理数情形和正无理数情形就可以。

针对n为有理数，即当（且为整数）时，原不等式等价为

令，故需证，注意到且为整数，故将默认为个和个的乘积，然后利用均值不等式,有

得证。

同样，当n为无理数时，可以故将他默认为十进制下的无穷级数，于是，这里的为不能超出的大正整数，为正有理数。于是只证明无穷乘积收敛就可以，取对数后变为，明显无穷级数收敛于，故无穷乘积收敛于 .

利用前面的正整数和有理数情形的结论，可得

故无穷个不等式相乘得（因为已经证明了收敛，故可以相乘；上面不等式右端都大于1，故相乘后不等号方向不变）得证。

综合上面所说得出就可以清楚的知道，n为大于1的实数，时，原不等式成立。

上面这样的绕弯子的方式也还是规避不了高等数学里面有关无穷的主要内容，故此，还不如直接使用高等数学知识来证明。

柯西不等式公式及变型？

柯西不等式公式：√（a^2＋b^2）≥（c^2＋d^2）。柯西不等式是由柯西在研究途中发现的一个不等式，其在处理不等式证明的相关问题中有着十分广泛的应用，故此，在高等数学提高中与研究中很重要是高等数学研究内容之一。

不等式的正整数解怎么求？

不等式的正整数解有的时候，超级难求得因为不等式的正整数解一定要满足两个条件：第一是为了让不等式成立，其次是满足正整数的要求一部分不等式超级难通过简单的手算得到正整数解，需运用高等数学和数值计算方式来处理假设给定的不等式是比较简单的三角函数不等式或者二元一次不等式，既然如此那，我们可以通过手算的方法来得到正整数解但是，针对一部分复杂的多项式不等式或者高维几何不等式，我们需借助于计算机软件来解答，如数值计算软件MATLAB等