椭圆面积公式用极坐标推导，直角坐标系椭圆面积公式

用极坐标积分变量怎么可能是一个x(你可能想表达的是r吧),一个是ρ呢

求椭圆面积有各种办法

都简单单就来说一下一下吧

1.把x^2/a^2+y^2/b^2=1变形变成y=f(x)的形式积分,要用还原法(令x=sint)

2.对坐标的曲线积分一个公式0.5(∮xdy-ydx)=∫dxdy=面积S

面积S=0.5(ab∫dt)t从0到2π=πab

3.用极坐标的积分公式∫(y(t))x(t),把x=acost,y=bsint对应进去唯有一个的视角t和2算下来一样

椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。以上椭圆面积公式中虽然没有产生椭圆周率T，但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*

先公式是 焦点三角形面积=b*b*tan(r/2)(这当中b为短半轴长，r表示椭圆周角) 。

设焦点为f1，f2，椭圆上任意点为a，设角f1af2为角r 推导方法是设三角形另外一点是a，af1+af2=2a af1向量-af2向量=f2f1向量。

两式都两边平方再整理得mn=2b^2/(1-cosa)(0度可以不考虑) 面积就是1/2mnsina,把上面带进即得。{注：m,n为af1和af2的长}

拓展资料：椭圆的性质

•性质一: 焦点三角形1( 为椭圆上任意一点,F1,F2为椭圆的焦点)椭圆焦点三角形 周长=2a+2c

•性质二: 过椭圆焦点的全部弦中通径(垂直于焦点的弦)短

椭圆焦点三角形面积公式的推导过程请看下方具体内容：

焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ PF1=m PF2=n。

m+n=2a。

(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ。

4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 。

mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2。

mn=2b^2/(1+cosθ) 。

S=(mnsinθ)/2。

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P（不与焦点共线）为顶点组成的三角形。椭圆的焦点三角形性质为：

（1）|PF1|+|PF2|=2a。

（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ。

（3）周长=2a+2c。

（4）面积=S=b²·tan(θ/2)（∠F1PF2=θ）。

高中椭圆定理总结：

抛物线：y = ax *+ bx + c

就是y等于ax 的平方加上 bx另外， c

a 0时开口向上

a 0时开口向下

c = 0时抛物线经过原点

b = 0时抛物线对称轴为y轴

还有顶点式y = a（x+h）* + k

就是y等于a乘以（x+h）的平方+k

-h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y

大多数情况下用于求大值与小值

抛物线标准方程:y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

因为抛物线的焦点可以在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

圆：体积=4/3(pi）(r^3)

面积=(pi)(r^2)

周长=2(pi)r

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的大多数情况下方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0

（一）椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有产生椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*PAI*高

椭圆的标准方程共分两种情况[1]：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)；

这当中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)

中文名

椭圆标准方程

外文名

Standard equation of the ellipse

又称

线条

表达式

x^2/a^2+y^2/b^2=1

提出者

数学家

方程推导

设椭圆的两个焦点分别是F1，F2，它们当中的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别是（-c,0)，（c,0)。

设M(x,y)为椭圆上任意一点，按照椭圆定义知

|MF1|+|MF2|=2a，（a0）

即

将方程两边同时平方，化简得

两边再平方，化简得

又

，设

，得

两边同除以 ，得

这个形式是椭圆的标准方程。

一般觉得圆是椭圆的一种情况特殊[2] 。

非标准方程

其方程是二元二次方程，能用到二元二次方程的性质进行计算，分析其特性[3] 。

几何性质

X，Y的范围

当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b

当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a

对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆自始至终有关X/Y/原点对称。

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在这里容易引发混乱，还需数形结合一步一步理解透彻[4] 。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

计算方式

(（这当中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来)或 （这当中 分别是椭圆的长轴，短轴的长）[5] 。

圆和椭圆当中的关系：

椭圆涵盖圆，圆是特殊的椭圆。

参考资料

[1] 曹才翰.中国中学教学百科全书:数学卷[M].沈阳:沈阳出版社

[2] 沈金兴. 数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J]. 数学通讯, 2023(8):