欧拉函数通俗解释，欧拉公式为什么是美的公式知乎

欧拉函数是在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目，对正整数 n ,欧拉函数是少于或等于 n 的数中与 n 互质的数的数目。此函数以首名研究者欧拉命名,它又称为 Q 函数、欧拉商数等。比如 p (8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。 p 1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。

欧拉函数是计算小于x的整数中与x互质的数的个数，大多数情况下用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。

通式：φ ( n ) = n ∗ ∏ ( 1 − 1 p i ) \\varphi(n) = n * \\prod (1 - \\frac{1}{p_i})φ(n)=n∗∏(1−pi​1​)即 φ(x) = x * (1-1/p(1)) * (1-1/p(2)) * (1-1/p(3)) (1-1/p(4))……(1-1/p(n)) 这当中p(1),p(2)…p(n)为x的全部质因数；注意：每种质因数唯有一个。

怎样理解呢针对x的一个质因数p i p_ipi​，因为x内p i p_ipi​的倍数均匀分布，故此，x内有1 p i \\frac{1}{p_i}pi​1​的数是p i p_ipi​的倍数，既然如此那，就有1 − 1 p i 1-\\frac{1}{p_i}1−pi​1​的数不是p i p_ipi​的倍数。

他把两个超越数和1，0，还有虚数单位结合在一起。故此，超级难得。很完美。

初中接触到欧拉公式：多面体的顶点数+多面体的面数—多面体的棱数= 2

套用上面的公式完全就能够解一部分几何问题。

欧拉定理：e^(ix)=cosx+isinx。这当中：e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：

e^(-ix)=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)，cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2。

扩展资料：

欧拉公式的意义：

1、数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数当中特有的规律

2、思想方式创新：定理发现证明途中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方式上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

3、引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量相关的量出现了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不可以撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这样的变形途中的不变的性质。

4、提出多面体分类方式：

在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。

除简单多面体外，还有非简单多面体。比如，将长方体挖去一个洞，连结底面对应顶点得到的多面体。它的表面不可以经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

以三角形作为例子：

欧拉三角形面积公式为d²=R(R-2r)。

已知三角形ABC中，外接圆圆心O，半径R内接圆圆心I，半径r设d为O到I的距离，求证：d²=R(R-2r)。

设角OAB=q，

r=(R+d)sinq，r+d=Rcos2q。

再由cos2q=1-2(sinq)²，得到(d+R+r)[d²-R(R-2r)]=0。

因为OI故此，d²=R(R-2r)。

1.(欧拉公式) eit＝cost+isint

这当中e是自然常数，其值约为2.718；cos和sin分别是余弦和正弦函数；i是虚数，满足 i²=-1。当t=π时cosπ＝-1，sinπ＝0，于是上面公式变成。

2.（欧拉公式) eiπ+1=0

0，1，i(虚数)，π(圆周率)，e(自然对数)

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