点到面的距离向量法，点到平面的距离公式 法向量

点到面距离公式向量法就是法向量乘向量PM的绝对 值，除以法向量的模。以例题进行解释：若P为面ABC 外一点，P做PO垂直面于O，PM为面的一条斜线，M 为斜足，连MO。设面的一条法向量为n，则有d=IPOI =InXPM|/n。

向量是数学、物理学和工程科学等 多个自然科学中的基本概念。指一个同时具有大小和 方向，且满足平行四边形法则的几何对象。向量的记 法：印刷体记作粗体的字母，表达时在字母顶上加一 小箭头。

向量n是平面法向量（与面内两个向量数量积为0即垂直，垂直相交直线就垂直平面）

与向量n的数量积再除以n的模，即投影数量。取绝对值即是点到面的距离。

大多数情况下式：

，这当中

不可以同时为零；斜截式：

,这当中

是斜率(slope)，表示直线与x轴正方向夹角的正切值，

是纵截距(y-intercept,截距可以是负值)，表示直线与y轴的交点的纵坐标；点斜率：

,这当中

表示直线上一点，

表示直线斜率；截距式：

,这当中

分别表示直线与x轴和y轴的截距，其实就是常说的与x轴交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标；两点式：

，这当中

表示直线上两点坐标；

上面说的这些，我们学的全部在二维平面中的直线表示，假设到三维空间中直线该如何表示呢？既然如此那，进一步一个平面又该如何表示呢？

既然如此那，本篇文章就来讲解一下直线与平面的向量表示。

一、直线的向量表示

已知直线上点

和直线的方向向量

,按照向量的加法运算完全就能够把直线上任意一点

都可以表示出来。

因为

，

，

故此

。

这可以理解为直线上任意一点都可以由直线上一已知点根据方向向量平移得到。按照上面说的原理我们可以到直线在二维、三维情况下的向量表示。

（1）二维直线向量表示

这当中

是直线上点坐标，

是方向向量，

是参数。

按照上面说的式子比较容易得到直线的参数方程：

，

也把

消去得到直线的笛卡尔坐标形式：

（2）三维直线向量表示

这当中

是直线上一点，

是方向向量。

同理可以到直线的参数方程：

笛卡尔坐标形式:

例如给一直线方程

，

既然如此那，可以清楚该直线过

，且方向向量为

。

二、平面的向量表示

平面的向量表示有两种不一样的方式:一种是利用向量的合成，一种是利用法向量。

（1）向量的合成

假设已知平面内一点

和两个不平行的向量

和

，既然如此那，平面内任意一点

都存在常数

让下式成立：

,

又因为

，

故此

,即：

我们二维的平面直角坐标系也可看成是两个相互垂直的基向量加减运算得到：

（2）法向量

把与平面中任意向量都相互垂直的向量称为法向量。假设已知平面上一点

和平面的法向量

，既然如此那，点

和平面内任意一点

所构成的向量

与法向量垂直可得：

故此

,

得到平面的大多数情况下方程：

。

因为这个原因，型如

的都是直线方程，且

是该平面的法向量。

例如给一平面方程

，既然如此那，该平面的法向量为

；既然如此那，假设平面方程为

其法向量为多少呢？

其法向量为

。

至此，直线和平面的向量表示都已经讲解结束，在这里基础上向量还有两个重要的应用：距离与夹角。距离主要是点到直线距离还有点到面的距离，可以参阅下文：

双木止月Tong：【“数”你好看】点到直线与面的距离公式

夹角主要是直线与直线的夹角、直线与平面的夹角还有平面与平面的夹角，俗称线线角、线面角还有面面角。这些主要都应用了向量的点乘

设A是平面α外一点，B是α内一点，n向量为α的一个法向量，则点A到平面α的距离n向量与AB的数量积/n的摸

空间点到面的距离公式

这个结论说明，

平面外一点到平面的距离=连接此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量的射影的绝对值。

.找一个与这个点连接的向量PA （A在平面内）

2.得出平面的法向量n

3.得出cos

4.点到平面距离d=|向量PA |*cos

面的大多数情况下式 Ax By Cz D=0 点（x0,y0,z0） 则 d=|A*x0 B*y0 C*z0 D|/[(A^2 B^2 C^2)^(1/2)]

Q是平面α上任意一点n是平面α的法向量，则点P到平面α的距离为d=|PQ·n|/|n|

点（a，b，c） 到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离=|A*a+B*b+C*c+D| /√(A^2+B^2+C^2)

点到平面的距离公式公式描述：公式中的平面方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标(x0,y0,z0)，d为点P到平面的距离。