抛物线的焦点弦长公式，抛物线焦点弦长公式推导过程视频

抛物线焦点弦长公式是：2p/sina^2。

抛物线焦点弦的性质:焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上，并且该交点与焦点的连线垂直于这条焦点弦。

过抛物线焦点弦长公式为：AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a。

公式就是用数学符号表示各个量当中的一定关系(如定律或定理)的式子。具有普遍性，合适于同一类型关系的全部问题。 在数理逻辑中，公式是表达出题的形式语法对象，除了这个出题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外

焦点在x轴，开口向右，弦长为x1+x2+p；焦点在x轴，开口向左，弦长为|x1+x2|+p；焦点在y轴，弦长为y1+y2+p；焦点在y轴，开口向下，弦长为|y1+y2|+p；

综合上面所说得出：焦点在x轴的焦弦长|x1+x2|+p；焦点在y轴的焦弦长为|y1+y2|+p。

公式一，AB＝X1＋X2＋P。直接利用抛物线定义就可以。AB＝AF＋BF＝X1＋P／2十X2＋p／2＝X1＋X2＋P。公式二。AB＝2P／Sinα平方。令x＝my＋p／2，（m＝COSα／Sinα）代入方程得y＾2－2mPy－p＾2＝0得丨y1－y2丨＝2根号下（1＋m＾2）×P。弦长AB＝丨y1-y2｜／Sinα＝2P／Sinα平方。

抛物线的焦点弦长公式有两个，一个是坐标形式的，一个是倾角形式的，设抛物线为y^2=2px。

（1）坐标形式：设过抛物线焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），按照抛物线定义可得AF=x1+p/2，BF=x2+p/2，则AB=x1+x2+p.

（2）倾斜角形式：是过焦点F的弦AB的倾斜角为α（设A点在上方），过A作x轴的垂线，则按照抛物线定义可以得到：AFcosα+p=AF，解得：AF=p/（1-cosα），同理可以得到：AF=p/（1+cosα），则焦点弦长为：AB=AF+BF=2p/sin^2α。

抛物线

焦点弦公式2p/sina^2

证明：设抛物线为y^2=2px(p0),过焦点F(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于A（x1,y1),B(x2,y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

故此，x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义，AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,

BF=x2+p/2

故此，AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

证毕！

已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦；则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}

椭圆

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）

双曲线

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}

抛物线

(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}

(2)设直线：与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}



焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成的。焦点弦长就是这两个 焦半径长之和。⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c是焦准距， e是离心率。

令|FE|=m，|ED|=n，则m+n=|FD|。当且仅当，时取|CD|小值2a。定理1 （配极理论的原则），若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P。

补充

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而因为椭圆或双曲线上的点与焦点当中的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线当中的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。

因为这个原因，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

除开这点因为焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，不少问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴！)

过焦点弦两端点分别作准线垂线。由第二定义算得两距离分别是L1/e,L2/e，

cosθ =（L1/e-L2/e）/L1+L2

再按照试题已知L1和L2的比例和倾斜角与θ的关系代入就可以算得e

（双曲线，抛物线同理：过弦端点作准线垂线找关系）

抛物线焦点弦长（L=2p/(sina)^2）推导过程：设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）

(y2-y1)/(x2-x1)=tanα

|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]

设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)

即直线为y=tanαx-ptanα/2

联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0

既然如此那，(x2-x1)^2

=(x2+x1)^2-4x1x2

=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2

=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4

既然如此那，|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2

抛物线y^2=2px (p0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2。

圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。圆锥曲线上一点到焦点的距离,不是定值。焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦，过一个焦点的弦通径。过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。

扩展资料

有关结论

A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y1=2px上，则有：

（1） 直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ， y1y2 = -p²；

（当A，B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p² ， y1y2 = p²/4 ， 需要在直线过焦点时才可以成立）

（2） 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）1]=（x1+x2）/2+P。

（3） （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（这当中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））。

（4）若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）。

|PF|=x+p/2 只要抛物线的对成轴为x,过顶点平行于准线的直线是y,形如y^2=px,就是x+p/2 不一样的建系方式得到的式子当然带来一定不一样.

几何领域的抛物线焦点弦弦长公式定义：假设一条倾斜角为α的直线过抛物线焦点F，并交抛物线于A。B两点，则AB的长度为2P/（sinα）2（即2P除以sinα的平方）推导过程：设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）(y2-y1)/(x2-x1)=tanα|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)即直线为y=tanαx-ptanα/2联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0既然如此那，(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x1x2=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4既然如此那，|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2

y2 =2px（p0）（开口向右）；

y2 =-2px（p0）（开口向左）；

x2 =2py（p0）（开口向上）；

x2 =-2py（p0）（开口向下）；

焦点坐标为(p/2,0)

焦点弦公式2p/sina^2

证明：设抛物线为y^2=2px(p0),过焦点f(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于a（x1,y1),b(x2,y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

故此，x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义，af=a到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,

bf=x2+p/2

故此，ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

扩展资料

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点依然不会在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点当中的距离是“焦距”。 “直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。

抛物线具有这样的性质，假设它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在什么地方出现反射。相反，从焦点处的点源出现的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。

抛物线焦点弦的弦长公式，焦点在x轴上，为x1+x2+p，焦点在y轴上为y1+y2+p，这当中(x1,y1)和(x2,y2)是该焦点弦两点坐标

焦点在y轴上的抛物线x^2=2py的弦长问题。

第一种，假设弦是焦点弦（进过焦点的弦）的长度|AB|=y1+y2+p，这个按照的是抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离。

第二种，弦不过焦点时，第一，先设出弦所在直线的方程；其次，联立直线与抛物线的方程整理成一元二次方程的一半形式；然后，列韦达定理表达式；后，通过两点距离的公式推导，直到把韦达定理表达式代入计算弦长。

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。在抛物线y²=-2px中，d=p-(x1+x2)。在抛物线x²=2py中，弦长公式为d=p+y1+y2。在抛物线x²=-2py中，弦长公式为d=p-(y1+y2)。

在y²=2px中,过焦点直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2，图形有关x轴对称，焦点为（p/2,0）