什么是留数，复变函数中留数的定义

留数是复变函数中的一个重要概念，指剖析解读函数沿着某一圆环域内包围某一孤立奇点的任一正向简单闭曲线的积分值除以2πi。

留数数值上等于剖析解读函数的洛朗展开式中负一次幂项的系数。按照孤立奇点的不一样，采取不一样的留数计算方式。留数常应用在某些特殊类型的实积分中，以此大大简化积分的计算过程。

留数也称残数，全称是复变函数在孤立奇点的留数(或残数)，指的是复变函数沿着孤立奇点附近的围线积分后所剩下的值除以2(pai)i. 故此，称为留数(或残数).

因为复变函数沿着剖析解读点附近的围线积分的值为0，不剩下多余的数，而复变函数沿着孤立奇点附近的围线积分就可能不为0，会剩下非0的值，因为这个原因留数(或残数)就用来衡量复变函数在孤立奇点附近的特性了.

此外复变函数f(z)在孤立奇点z0的留数(或残数)其实就是常说的复变函数在孤立奇点的Laurent级数中1/(z-z0)的系数.

留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念。是剖析解读函数f（z）沿一条正向简单闭曲线的积分值。

定义是：f（z）在 0

，则称积分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf（z）dz为f（z）有关a点的留数 ，记作Res[f（z），a] 。假设f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分∫|z－a|=Rf（z）dz表示旋源的强度-环流量，故此，留数是环流量除以2πi的值。因为剖析解读函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）=∑ak（z－a）k ，将它沿|z－a|=R逐项积分，马上可见Res[f(z)，a]=a-1 ，这表达留数是剖析解读函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。

在复分析中，留数定理是用来计算剖析解读函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

留数定理：设D是复平面上单连通开区域，C是其边界,函数f(z)在D内除了有限个奇点a1,a2,...,an外剖析解读,在闭区域D+C上除了a1,a2,...,an外连续,则在C上围道积分∮f(z)dz=2πi∑Res(f(z),ak)