三角函数和三角形法则，三角形十大定理公式

又称三角函数的加法定理是哪些角的和（差）的三角函数通过这当中各个角的三角函数来表示的关系

诱导公式

经常会用到的诱导公式有以下几组：

1.sinα^2 +cosα^2=1

2.sinα/cosα=tanα

3.tanα=1/cotα

公式一:

设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值当中的关系：

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值当中的关系：

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值当中的关系：

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值当中的关系：

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值当中的关系：

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

(以上k∈Z)

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方-勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。

6.一个三角形少有2个锐角。

7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点当中的线段。

8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。

9.勾股定理逆定理：假设三角形的三边长a,b,c有下面关系既然如此那，a^2+b^2=c^2。

既然如此那，这个三角形就一定是直角三角形。

10.三角形的外角和是360°。

三角形定理

1、直角三角形两个锐角互为余角；

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3、直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；

4、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；

5、假设三角形的三边长a、b、c有下面关系a²+b²=c²，既然如此那，这个三角形是直角三角形；

6、等腰三角形的两个底角相等；

6、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；

7、三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

8、三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度；

9、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；

10、三角形外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的三条角的平分线交于一点；三角形的三边的垂直平分线交于一点；

11、三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；

三角形的定理：

中位线定理

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。

中线定理

三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

勾股定理

勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容为：在任何一个直角三角形中，两条直角边的长平方之和一定等于斜边长的平 方。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，AB^2+BC^2=AC^2；

1. 过两点有且唯有一条直线

2. 两点当中线段短

3. 同角或等角的补角相等

4. 同角或等角的余角相等

5. 过一点有且唯有一条直线和已知直线垂直

6. 直线外一点与直线上各点连接的全部线段中，垂线段短

7. 平行公理 经过直线外一点，有且唯有一条直线与这条直线平行

8. 假设两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也相互平行

9. 同位角相等，两直线平行

10. 内错角相等，两直线平行

11. 同旁内角互补，两直线平行

12. 两直线平行，同位角相等

13. 两直线平行，内错角相等

14. 两直线平行，同旁内角互补

15. 定理 三角形两边的和大于第三边

16. 推论 三角形两边的差小于第三边

17. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18. 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19. 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20. 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

三角形的五心一定理重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要有关点.上面说的的哪些结论早在欧几里得时代均已被人发现,欧几里得除垂心定理外,均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里,但后来有关三角形这些特殊有关点的很多研究及由此得出的不少著名结论表达,遗漏垂心定理必须算是《几何原本》作者的一个疏忽.

三角形三角和定理是三角形的三个角和是180度，它们当中关系是这当中一个角的外的视角数等于它不相邻的两个内角之和，三个角的顶点内在一个圆上，三角形的三角的外角之和等于540度，假设三角形是特殊三角形，既然如此那，三个角的角平分线相交一点。即圆心。

三角形成立条件是三条边中小的两条边的长度相加的和大于第三条边。计算公式为底*高/2。

大多数情况下地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的哪些元素求其他元素的过程叫做解三角形。解三角形，经常会用到到正弦定理和余弦定理和面积公式等。

1、a=b+c-2bccosA

b=a+c-2accosB

c=a+b-2abcosC

1、构成三角形的判断与考察：

判断：三角形的两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

考察方法：按照条件解答三角形的边长（一般通过设未知数，解方程解答；注意分类讨论）。

2、与三角形相关的线段

高：过三角形的一个顶点做该顶点的所对边的垂线，所得的线段叫做三角形的高。

注意：三角形的高未必在三角形内，可能在三角形外，比如钝角三角形。

中线：连接三角形的一顶点和该顶点所对边的中点，所得的线段称为三角形的中线。

三角形有关定理

重心定理

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．

上面说的交点叫做三角形的重心.

外心定理

三角形的三边的垂直平分线交于一点．

这点叫做三角形的外心.

垂心定理

三角形的三条高交于一点．

这点叫做三角形的垂心.

内心定理

三角形的三内角平分线交于一点．

这点叫做三角形的内心.

旁心定理

三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．

这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．

它们都是三角形的重要有关点．

中位线定理

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

三边关系定理

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

三角形面积计算公式

S(面积)=a(边长)h(高)/2-三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半

[编辑本段]勾股定理

在Rt三角形ABC中，A≤90度，则

AB·AB+AC·AC=BC·BC

A〉90度，则

AB·AB+AC·ACBC·BC有两条边相等的三角形是等腰三角形；三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形；有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。这当中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。

三角形判断定理

全等的条件

1.两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS。

2.两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”。

3.两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”。

4.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”。

5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。

注意，证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方式，即两边与这当中一边的对角相等没办法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。

相似三角形

相似三角形的判断

【1】假设一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，既然如此那，这两个三角形相似(简称：三边对应成比例的两个三角形相似)。

【2】假设一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，既然如此那，这两个三角形相似(简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似)。

【3】假设一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，既然如此那，这两个三角形相似(简称：两角对应相等的两三角形相似)。

【4】假设一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，既然如此那，这两个三角形相似。

三角形的面积是底x高÷2

　1. 三角形的边角关系：

　　(1)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

　　(2)三角形内角和等于180°。

　　(3)三角形的任一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

　　2. 证明线段相等的方式：

　　(1)可证明它们所在的两个三角形全等。

　　(2)角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。

　　(3)等角对等边。

　　(4)等腰三角形的三线合一的性质。

　　(5)垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

　　(6)等式的性质。

　　(7)中点的定义。

　　3. 证明角相等的方式：

　　(1)同角(等角)的余角相等。

　　(2)同角(等角)的补角相等。

　　(3)平行线的性质：

　　（1）两直线平行，同位角相等。

　　（2）两直线平行，内错角相等。

　　(4)全等三角形的对应角相等。

　　(5)等边对等角。

　　(6)角平分线的定义。

　　(7)等式的性质。

　　(8)对顶角相等。

　　4. 证明垂直的方式

　　(1)证邻补角相等。

　　(2)证和已知直角三角形全等。

　　(3)勾股定理的逆定理。

一、三角形的内角和公式

三角形的内角和等于180°。即A+B+C=180°。

【注】在不至于导致误解和歧义的前提下，高中数学中常把∠A、∠B、∠C简写为A、B、C。

二、正弦定理

在解三角形的问题中，正弦定理和正弦定理的推论经常会用到于“已知两角和一边”、“已知两边和这当中一边的对角”的情况。

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。这当中“R”为三角形ABC的外接圆半径。

【注】正弦定理适用于全部三角形。



求三角形面积的基本公式

三、正弦定理的推论

按照正弦定理“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可以得到请看下方具体内容推论。

1、a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC。这当中“R”为三角形外接圆半径。

2、a:b=sinA:sinB；a:c=sinA:sinC；b:c=sinB:sinC；a:b:c=sinA:sinB:sinC。

3、a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)。

四、余弦定理

在解三角形的问题中，余弦定理和余弦定理的推论经常会用到于“已知三条边，求其它三个角”、“已知两边夹一角，求其余的一边和两个角”、“已知两边和这当中一边的对角”的情况。余弦定理的公式有三个。

1、a^2=b^2+c^2-2bccosA；

2、b^2=a^2+c^2-2accosB；

3、c^2=a^2+b^2-2abcosC；

余弦定理可以用文字语言概括为：三角形中任何一边的平方，等于其它两边的平方和，减去这两边与这两边夹角的余弦乘积的两倍。

【注】“a^2、b^2、c^2”分别表示“a的平方、b的平方、c的平方”。



五、余弦定理推论

从余弦定理的三个公式中，分别解出公式里的余弦值，就得到了余弦定理的三个推论。

1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)；

2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)；

3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)；

六、“两边夹一角”形式的三角形面积公式

“两边夹一角”形式的三角形面积公式有三个，适用于全部三角形。

1、S=(1/2)absinC；

2、S=(1/2)acsinB；

3、S=(1/2)bcsinA。

七、勾股定理（仅适用于直角三角形）

若三角形ABC为直角三角形，C为直角，A、B、C的对边分别是a、b、c，则有a^2+b^2=c^2。