三角函数和积公式证明三角函数万能公式tan推导

和差化积公式：涵盖正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，一定要是一次同名（正切和余切除外）三角函数才可以实行。若是异名，一定要用诱导公式化为同名；若是高次函数，一定要用降幂公式降为一次。

和差化积公式

和差化积公式：

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

和差化积公式由积化和差公式变形得到。

积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

故此sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ

故此cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

这样，得到了积化和差的四个公式:

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

万能三角函数公式：

1、(sinα)^2+(cosα)^2=1

2、1+(tanα)^2=(secα)^2

3、1+(cotα)^2=(cscα)^2

针对任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

设tan(A/2)=t

sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）；

tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）；

cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π k∈Z） ；

就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示，当要求一串函数式值时，完全就能够

用万能公式，推导成只含有一个变量的函数。

有关三角函数：

1、角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值肯定是相等的，即凡是终边一样的角的三角函数值相等。

2、其实，假设终边在坐标轴上，上面说的定义同样适用。

3、三角函数是以“比值”为函数值的函数。

4、而x,y的正负是随象限的变化而不一样，故三角函数的符号应由象限确定。

以锐角a的顶点为原点，始边为X轴的正半轴建立直角坐标系，设p（X，y）为锐角a终边上的任意一点，r=OP=√（XX十yy）则

把y/r叫做a的正弦函数，记作Sina=y/r

把X/r叫做a的余弦函数，记作COSa=X/r

把y/X叫做a的正切函数，记作tana=y/x

把X/y叫做a的余切函数，记作Cota=X/y。

当a为锐角时：

Sin（兀/2一a）=C0Sa

COS（兀/2一a）二Sina

tanc（兀/2一a）二C0ta

C0t（兀/2一a）二tana。

三角函数平方关系是：(sina)^2+(cosa)^2=1

推导：由三角函数的定义就可以清楚的知道：

sina=y/r, cosa=x/r

又 x^2+y^2=r^2

故此， (sina)^2+(cosa)^2

=(y/r)^2+(x/r)^2

=(y^2+x^2)/r^2

=r^2/r^2

=1。

利用三角函数线图像和勾股定理，就可以得到三角函数平方公式

注：三角函数线图像中，OE=OB=OH=1(单位圆)