卷积和乘法的运算公式，卷积和运算公式

卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，有关基本上全部的x∈（－∞，∞） ，上面说的积分是存在的。

这样，随着x的不一样取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。

那就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

尺寸为k的卷积核的有效尺寸为：K = k + (k-1)*(d-1)

从负无穷到正无穷,就是取遍全部能取到的区域,详细还需要看f(x)的定义域； 另外,卷积定理应是f(z)g(x-z)对z积分,注意是f(z)不是f(x)

卷积公式 解释 卷积公式是用来求随机变量和的密度函数(pdf)的计算公式。 定义式： z(t)=x(t)*y(t)= ∫x(m)y(t-m)dm. 已知x,y的pdf,x(t),y(t).目前要求z=x+y的pdf. 我们作变量替显，令 z=x+y,m=x. 雅可比行列式=1.既然如此那，,z，m联合密度就是f(z,m)=x(m)y(z-m)*1. 这样，完全就能够比较容易求Z的在（z,m)中边缘分布 即fZ(z)=∫x(m)y(z-m)dm....

. 因为这个公式和x(t),y(t)存在一一对应的关系。

为了方便，故此，记 ∫x(m)y(z-m)dm=x(t)*y(t) 长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v，卷积w的向量序列长度为(m+n-1), 当m=n时, w(1) = u(1)*v(1) w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1) w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1) … w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ … +u(n)*v(1) … w(2*n-1) = u(n)*v(n) 当m≠n时,应以0补齐阶次低的向量的高位后进行计算 这是数学中经常会用到的一个公式，在可能性论中是个重点也是一个难点。

周期长度都是N的两个周期序列y(n)和:xz (n)进行请看下方具体内容形式的运算:乙x} gym)·.za (n一m)称为周期卷积.一般记为:x1 (n )（4）iz n ).周期卷积的结果也还是是以N为周期的序列，其运算满足交换律.

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中不少问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f*g大多数情况下要比f和g都光滑。非常当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质，针对任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这样的方式称为函数的光滑化或正则化。

扩展资料

卷积定理：

要理解卷积，不可以不提convolution theorem，它将时域和空域上的复杂卷积对应到了频域中的元素间简单的乘积。这个定理很强大，在不少科学领域中得到了广泛应用。卷积定理也是迅速傅里叶变换算法被称为20世纪重要，要优先集中精力的算法之一的一个因素。

第一个等式是一维连续域上两个连续函数的卷积；第二个等式是二维离散域（图像）上的卷积。这里指的是卷积，指的是傅里叶变换，表示傅里叶逆变换是一个正规化常量。

这里的“离散”指的是数据由有限个变量构成（像素（PX））；一维指的是数据是一维的（时间），图像则是二维的，视频则是三维的。

为了更好地理解卷积定理，我们还要有理解数字图像处理中的傅里叶变换。

线性卷积就是多项式系数乘法：设a的长度是M，b的长度是N，则a卷积b的长度是M+N-1，运算参见多项式乘法。两个周期序列的卷积称为周期卷积，其计算步骤与非周期序列的线性卷积类似。循环卷积与周期卷积并没有实质区别

与阶跃函数的卷积就是该函数的变上限积分，阶跃函数是个理想积分器。

f(t)*u(t)=∫f(x)dx, 下限是负无穷，上限是t，结果仍是以t为自变量的。

假设两个阶跃函数卷积，结果是阶跃函数的积分，即斜坡函数R(t)

与阶跃函数的卷积就是该函数的变上限积分，阶跃函数是个理想积分器。

f(t)*u(t)=∫f(x)dx, 下限是负无穷，上限是t，结果仍是以t为自变量的。

故此两个单位阶跃函数卷积，结果是单位阶跃函数的积分

u(t)*u(t)=t×u(t)

u(t)*u(t)基本上等同于对u(t)积分，故此，结果为斜升函数r(t)=t×u(t)

系统在单位阶跃信号的作用下所出现的零状态响应。因为其能很大程度上反应系统的变动特性，故此，是分析系统时十分重要和经常会用到的响应类型。

卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的，故此，经常带有麻烦的算术推导，很简单的问题的实质经常就被一大堆公式淹没了，既然如此那，卷积究竟物理意义怎么样呢？

卷积表示为

y(n) = x(n)*h(n)

使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成

y(0),y(1),y(2) and so on；

这是系统响应出来的信号。

同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on；

实际上我们假设没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与现目前时刻系统的输入相关，也跟以前若干时刻的输入相关，因为我们可以理解为这是以前时刻的输入信号经过一种过程（这样的过程可以是递减，削弱，或其他）对目前时刻系统输出的影响，既然如此那，明显，我们计算系统输出时就一定要考虑目前时刻的信号输入的响应还有以前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。

假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和明显不同）。但经常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，既然如此那，怎么表达这样的变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表达，表达为x(m)×h(m-n)，详细表达式不需要多管，只要记着有大约这样的关系，引入这个函数就可以够表达y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。

再拓展点，某时刻的系统响应时常未必是由现目前时刻t和前一时刻t-1这两个响应决定的，也许是另外，t-2时刻，t-3时刻，t-4时刻，等等，既然如此那，怎么管束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来管束的。即说白了，就是现目前时刻的系统响应与多少个以前时刻的响应的“残留影响”相关。

当考虑这些原因后，完全就能够描述成一个系统响应了，这些东西原因通过一个表达式（卷积）即描述出来不可以不说是数学的巧妙和迷人之处了。