指数函数积分公式，指数的性质和运算法则

指数函数的积分公式是

∫e^x dx = e^x+c

∫e^(-x) dx = -e^x+c

(c为常数)

因为e^x的微分还是e^x，故此，上面的积分可以直接得到~

在这里补充一下大多数情况下指数函数的积分：

y=a^x 的积分为

(a^x)/ln(a) + c

指数函数的积分公式是：1、∫e^x dx = e^x+c；2、∫e^(-x) dx = -e^x+c(c为常数)。因为e^x的微分还是e^x，故此，上面的积分可以直接得到。指数函数是重要的基本初等函数之一。大多数情况下地，y=ax函数(a为常数且以a0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。 注意，在指数函数的定义表达式中，在ax前的系数一定要是数1，自变量x一定要在指数的位置上，且不可以是x的其他表达式，不然，就不是指数函数积分是微分的逆运算，即了解了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅是这样，它被非常多应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的解答方式是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分还有其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、非常大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。

指数函数的性质去看函数图像

指数运算

利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加

1

为了计算指数，我们需自己制作一个辅助计算的表格，我们将指数的底数和幂数分别放到两列当中，幂值结果独自放到一列。

2

我们在幂值结果列里面选择一个单元格，然后点击代表函数的fx。

3

点击fx后会弹出插入函数对话框，我们在选择类别中选中数学与三角函数。

4

然后选择power函数，power函数就是指数计算函数。

5后面会弹出函数参数编辑对话框，我们需对底数和幂数进行选择。

6

我们将底数和幂数从底数列和幂数列中对应链接过来。

7链接完后点击确定，我们返回Excel页面就发现幂值已经自动计算出来了。

解指数方程的大多数情况下方式.大多数情况下的指数方程无初等解法，但对一部分特殊形式的指数方程可用初等方式解答.其大多数情况下思路是：利用指数函数与对数函数的性质，或变元代换法，把指数方程转化为代数方程解答.几类简单指数方程的解法是：

1.形如ax＝b(a0，a≠1)的方程.按照对数的定义，当b0时，方程有惟一解x=logab；当b≤0时，方程无实数解.

2.形如af(x)＝bg(x)(a0，a≠1；b0，b≠1)的指数方程：

1) 当a=b时，方程为af(x)＝ag(x)，按照“底数不为1时，同底的幂相等，则指数亦相等”的幂函数性质，方程af(x)＝ag(x)与f(x)=g(x)等价.因而只要得出方程f(x)=g(x)的实数根，就是原指数方程的根.

2) 当a≠b时，可对方程af(x)＝bg(x)的两边取经常会用到对数，得等价方程f(x)lga=g(x)lgb，解这个方程就可以.

3.形如f(ax)=0(a0，a≠1)的指数方程.经常会用到换元法解答.设辅助未知数y=ax，将指数方程化为有关辅助未知数的代数方程f(y)=0.解这个代数方程得出辅助未知数的全部值y1，y2，…，yt，以此得到t个简指数方程ax＝y1，ax＝y2，…，ax＝yt，针对每个有意义的式子，解出未知数就得到原方程的都解.以上解指数方程的途中均属同解变形是否需验根，要看将指数方程如上化为代数方程后，该代数方程是不是需验根来决定.

只数相减的运算法则就是同底数幂相除的运算法则。同底数幂相除的运算法则的主要内容是，同底数幂相乘底数不变，指数相减。

例如：2的6次方除以2的二次方，所得的结果的底数还是2，指数是6-2=4，

故此，2的6次方÷2的二次方=2的6-4次方等于2的4次方。

指数的运算法则

指数的运算法则：同底数幂的乘法：底数不变，指数相加幂的乘方；同底数幂的除法：底数不变，指数相减幂的乘方。 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加幂的乘方；

同底数幂的除法：底数不变，指数相减幂的乘方； 幂的指数乘方：等于各因数分别乘方的积商的乘方 。

分式乘方：分子分母分别乘方，指数不变。

指数函数的大多数情况下形式为y=a^xa0且不=1 ，函数图形上凹，a大于1，则指数函数枯燥乏味递增；a小于1大于0，则为枯燥乏味递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。为了让x可以取整个实数集合为定义域，则唯有让a的不一样大小影响函数图形的情况。

指数函数导数公式：(a^x)=(a^x)(lna)。

y=a^x

两边同时取对数：lny=xlna

两边同时对x求导数：==y/y=lna==y=ylna=a^xlna

导数的求导法则：

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则请看下方具体内容：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对这当中每个部分求导后再取线性组合（即（1）式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即（2）式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即（3）式）。

4、假设有复合函数，则用链式法则求导。

求导公式：(a^x)=(lna)(a^x)，本质性，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源自于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可倒过来求原来的函数，即不定积分。

　　1、指数函数的求导公式

　　(a^x)=(lna)(a^x)

　　求导证明：

　　y=a^x

　　两边同时取对数，得：lny=xlna

　　两边同时对x求导数，得：y/y=lna

　　故此，y=ylna=a^xlna，得证。

a^y=x↔y=log(a)(x)[公式表示y=log以a为底x的对数，a是底数，x是真数。另外a大于0，a不等于1，x大于0]。实质上计算途中指数和对数的转换，利用指数或者是对数函数的枯燥乏味性，这样完全就能够比较出来对数式或者是指数式...

对数的运算法则：

1、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N

2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N

3、log(a) M^n=nlog(a) M

4、log(a)b*log(b)a=1



1对数的概念

假设a(a0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,既然如此那，数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b,这当中a叫做对数的底数,N叫做真数.

由定义知：

（1）负数和零没有对数；

（2）a0且a≠1,N0；

（3）loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.

非常地,以10为底的对数叫经常会用到对数,记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.

2对数式与指数式的互化

式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)

3对数的运算性质

假设a0,a≠1,M0,N0,既然如此那，

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

(2)logaMN=logaM-logaN.

(3)logaMn=nlogaM (n∈R).

问：（1）公式中为什么要加条件a0,a≠1,M0,N0?

（2）logaan=? (n∈R)

（3）对数式与指数式的比较.(学生填表)

式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数

b—

N—a—对数的底数

b—

N—运

算

性

质am·an=am+n

am÷an=

(am)n=

(a0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN

logaMN=

logaMn=(n∈R)

(a0,a≠1,M0,N0)

难点疑点突破

对数定义中,为什么要规定a＞0,且a≠1?

理由请看下方具体内容：

（1）若a＜0,则N的某些值不存在,比如log-28

（2）若a=0,则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一,可以为任何正数

（3）若a=1时,则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一,可以为任何正数

为了不要上面说的各自不同的情况,故此，规定对数式的底是一个不等于1的正数

解题方法和技巧技巧

1

(1)将下方罗列出来的指数式写成对数式：

（1）54=625；（2）2-6=164；（3）3x=27；（4）13m=573.

（2）将下方罗列出来的对数式写成指数式：

（1）log1216=-4；（2）log2128=7；

（3）log327=x；（4）lg0.01=-2；

（5）ln10=2.303；（6）lgπ=k.

剖析解读由对数定义：ab=NlogaN=b.

解答(1)（1）log5625=4.（2）log2164=-6.

（3）log327=x.（4）log135.73=m.

解题方法和技巧

指数式与对数式的互化,一定要并且只要能紧紧抓住对数的定义：ab=NlogaN=b.(2)（1）12-4=16.（2）27=128.（3）3x=27.

（4）10-2=0.01.（5）e2.303=10.（6）10k=π.

2

按照下方罗列出来的条件分别求x的值：

(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；

(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.

剖析解读(1)对数式化指数式,得：x=8-23=?

(2)log5x=20=1. x=?

(3)31+log32=3×3log32=?27=x?

(4)2+3=x-1=1x. x=?

解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.

(2)log5x=20=1,x=51=5.

(3)logx27=3×3log32=3×2=6,

∴x6=27=33=(3)6,故x=3.

(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.

答题技巧和方法

（1）转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在处理相关问题时,常常进行着两种形式的相互转化.

（2）熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3

已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值.

剖析解读思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将会针对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值；

思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值

解答解法一∵logax=4,logay=5,

∴x=a4,y=a5,

∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.

解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得

logaA=loga(x512y-13)

=512logax-13logay=512×4-13×5=0,

∴A=1.

答题技巧和方法

有的时候，对数运算比指数运算来得方便,因为这个原因以指数形式产生的式子,可利用取对数的方式,把指数运算转化为对数运算.4

设x,y都是正数,且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.

剖析解读一个等式中含两个变量x、y,对每一个确定的正数x由等式都拥有惟一的正数y与之对应,故y是x的函数,以此lg(xy)也是x的函数.因为这个原因求lg(xy)的取值范围其实是一个求函数值域的问题,怎样才可以建立这样的函数关系呢?能不能对已知的等式两边也取对数?

解答∵x0,y0,x·y1+lgx=1,

两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.

即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).

令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).

∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.

解题规律

对一个等式两边取对数是处理含有指数式和对数式问题的经常会用到的有效方式；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得有关t的方程t2-St-S=0有实数解.

∴Δ=S2+4S≥0,解得S≤-4或S≥0,

故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).

5

求值：

(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；

(2)2log32-log3329+log38-52log53；

(3)设lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b的值；

(4)求7lg20·12lg0.7的值.

剖析解读(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.

(2)转化为log32的关系式.

(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b当中的关系,能不能从中得出ab的值呢?

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积,且指数含经常会用到对数,

设x=7lg20·12lg0.7能不能先得出lgx,再求x?

解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2

=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2

=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.

(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59

=2log32-5log32+2+3log32-9

=-7.

(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0),

∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.

∴ab=1或ab=4,这里a0,b0.

若ab=1,则a-2b0,a≠1,c0,c≠1,N0)；

(2)logab·logbc=logac；

(3)logab=1logba(b0,b≠1)；

(4)loganbm=mnlogab.

剖析解读(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数得出b就可能得证.

(2)中logbc能不能也换成以a为底的对数.

(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.

(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.

解答(1)设logaN=b,则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,

∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.

(2)由(1)logbc=logaclogab.

故此， logab·logbc=logab·logaclogab=logac.

(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.

解题规律

(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式,(2)(3)(4)是(1)的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中常常应用.针对对数的换底公式,既要擅长于正用,也要擅长于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab.

7

已知log67=a,3b=4,求log127.

剖析解读依题意a,b是常数,求log127就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能不能将log127转化为以6为底的对数,进一步转化为以3为底呢?

解答已知log67=a,log34=b,

∴log127=log67log612=a1+log62.

又log62=log32log36=log321+log32,

由log34=b,得2log32=b.

∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.

∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.

答题技巧和方法

利用已知条件求对数的值,大多数情况下运用换底公式和对数运算法则,把对数用已知条件表示出来,这是经常会用到的方式技巧8

已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z.

(1)求满足2x=py的p值；

(2)求与p接近的整数值；

(3)求证：12y=1z-1x.

剖析解读已知条件中给出了指数幂的连等式,能不能引进中间量m,再用m分别表示x,y,z?又想,针对指数式能不能用对数的方式去解答?

解答（1）解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316,

∴p=log316.

解法二设3x=4y=m,取对数得：

x·lg3=lgm,ylg4=lgm,

∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.

由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,

∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.

(2)∵2=log390,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式,想：能不能将真数中的一次式也转化为二次,进一步应用a2+b2=7ab?

解答logma+b3=logm(a+b3)212=

答题技巧和方法

（1）将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

（2）应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式,以方便应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.

∵a2+b2=7ab,

∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),

即logma+b3=12(logma+logmb).