泰勒公式有什么用，泰勒公式的使用条件x趋向于0

泰勒公式可以对多项式函数进行插值逼近。

泰勒公式是泰勒中值定理的一种数学形式。在微分学求导途中有着很大的作用。可以对多项式函数利用高阶求导来近似逼近。

Taylor展开在物理学应用！物理学上的一切原理 定理 公式 都是用泰勒展开做近似得到的简谐振动对应的势能具有x^2的形式，并且能在数学上精确解答。为了处理大多数情况下的情况，物理学第一特别要注意关注平衡状态，可以觉得是“不动”的情况。为了达到“动”的效果，会给平衡态加上一个微扰，使物体振动。在这样的情况下，势场时常是复杂的，因为这个原因振动的详细形式超级难解答。这时，Taylor展开就启动发挥威力了！理论力学中的小振动理论告诉我们，在平衡态附近将势能做Taylor展开为x的幂级数形式，零次项可取为0，一次项因为平衡态对应的非常大/极小值也为0，从二次项启动不为零。假设精确到二级近似，则势能的形式与简谐运动完全一样，因为这个原因比较容易解答。这样的处理方式在量子力学、固体物理中有着广泛应用。反思一下这么处理的因素：第一，x^2形式的势能对应于简谐运动，能精确解答；其次，Taylor级数有很好的近似，x^2后面的项在一定条件下可以忽视。这保证了解的精确性。

除了Taylor级数，常常用到的还有Fourier级数和Legendre多项式。因素也和上面提到的类似。有不少问题的数学模型是比较复杂的，这些复杂的问题时常超级难甚至不可能解答，或是虽然可以解答，但是，我们时常需的是一个不既然如此那，精确但是，效率很高的解法。而泰勒公式的强大之处就在于把一个复杂的函数近似成了一系列幂函数的简单线性叠加，于是完全就能够很方便地进行比较、估算规模、求导、积分、解微分方程等等操作。

比较典型的例子，……牛顿近似求根法（或者叫牛顿迭代法）可以当成泰勒公式的一种应用，并且比较容易理解。全部非线性关系都可以用泰勒展开，丢掉高阶保留线性项作为近似。计算机的计算过程用的就是泰勒级数展开式。泰勒公式给出了f（x）的另一种形式，而从某种意义上说逻辑就是用等号右边的形式代替左边的形式以此推理下去的。

数学上有一个习惯，就是把未知问题转化成一个已处理过的问题，然后就算处理了。泰勒级数形式的函数的行为就是一个计算机上的已处理得很好的问题。但凡是把一个函数展开成泰勒级数的形式，它就成了一个已经处理过的问题，剩下的交给计算机就行了。理工科有一门课程叫做数值分析，这门课简直就是泰勒公式的应用。数值分析就是讲得各自不同的数学式的解答，在计算机中，要求某一个问题的精确解是不可能的（因为计算机实质上仅仅会逻辑运算），针对一个问题在影响不了后结果的情况下近似解是很可取的，泰勒公式就为这些计算提供了这样的方式，用简单式子逼近复杂式子，在误差范围内得出结果。

泰勒公式是在一点处展开，函数一定要在那一点处n阶倒数存在，在x＝0处是麦克劳林展开式，大多数情况下在极限里面用的是麦克劳林展开公式，故此，一定要x趋于0时才可以使用。

x趋于0才可以使用是说极限式里面的x趋于0，然后可以用麦克劳林公式做展开，而且，一定要是x＝0处展开，泰勒其实就是高级的等价无穷小替换，假设说展开的高阶小o(x)不是趋于0的，那就错了。这其实就是常说的说麦克劳林仅仅替代了那个x0＝0，然后就将一个复杂的函数转换成了一个简单的幂次函数，并且这个幂次函数在x0＝0的某邻域是成立的。

泰勒公式的使用条件：实质上应用中，泰勒公式需截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒展开式的重要性反映在以下五个方面：1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因为这个原因求和函数相对比较容易。2、一个剖析解读函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的剖析解读函数，并让复分析这样的手法可行。3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。4、证明不等式。5、求还未确定式的极限。

泰勒公式在x=a处展开为

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……

设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……（1）

令x=a则a0=f(a)

将（1）式两边求一阶导数，得

f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……（2）

令x=a,得a1=f'(a)

对（2）两边求导，得

f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……

令x=a,得a2=f''(a)/2!

继续下去可得an=f(n)(a)/n!

故此，f(x)在x=a处的泰勒公式为：

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……

应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，以此可以进行近似计算，也可计算极限值，等等。

此外一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理

f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b当中。

泰勒公式在x=a处展开为

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……

设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……（1）

令x=a则a0=f(a)

将（1）式两边求一阶导数，得

f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……（2）

令x=a,得a1=f'(a)

对（2）两边求导，得

f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……

令x=a,得a2=f''(a)/2!

继续下去可得an=f(n)(a)/n!

故此，f(x)在x=a处的泰勒公式为：

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……

应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，以此可以进行近似计算，也可计算极限值，等等。

此外一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理

f(b)=f(a)+f(ε)↗(b-a),ε介于a与b当中。

泰勒公式的推导运用了多次柯西中值定理，目标是，要找到f(x)的n阶展开式，并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小，就要用柯西中值定理证明余项Rn(x)是存在的，而且，是可得出来的。

在所给出的展开式中，Rn(x)被写在后一项，把前面的n个含(x-x0)的代数式还有f(x0)都减到f(x)的一边,就得到了Rn(x)的表达式，因为题设f(x)有n+1阶导数，且(x-x0)^n的系数由f(x)的前n阶导数给出，自然有Rn(x0)=0，Rn在x0点的前n阶导数都为零，第n+1阶导数时，(x-x0)^n求导后都导成常数零，等号这边只剩了n+1阶可导的f(x)。即你第一处红笔画线处成立。

这样在n次使用柯西中值定理后，未知的Rn(x)的n+1阶导数可由f(x)的n+1阶导数所替换。Rn(x)被精确表示。第二。泰勒展开是在某点对f(x)进行展开，以此估计这一点附近的f(x)的值，使e^x这样没办法求值的函数可求。

故此，x是在一个小区间(x0附近)来取值的，因为这个原因f n+1(x)有界，可设为M 。

这样完全就能够对所导致的误差作坏的估计，以此保证估值的精确。

泰勒公式（Taylor's formula）带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n) 　　泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x)在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关（x-x。)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x) 　这当中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1)，这里ξ在x和x。当中，该余项称为拉格朗日型的余项。（注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。） 　　使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。这当中o((x-x0)^n)表示n阶无穷小。Taylor公式典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等。

麦克劳林公式是泰勒公式在x=0的情况下的一种特殊形式.主要用于微分范畴,应用于近似值计算,利用多项式逼近函数,求极限和证明不等式.