参数方程的二阶导数怎么求，参数方程求导公式推导过程

x=g(t)

y=h(t)

则一阶导数：dy/dx=h(t)/g(t)

二阶导数：d²y/dx²=d[h(t)/g(t)]/dx函数中唯有变量t，t当成中是变量

={d[h(t)/g(t)]/dt}*(dt/dx)

={d[h(t)/g(t)]/dt} / (dx/dt)

={d[h(t)/g(t)]/dt} / g(t)

用语言描述就是：d²y/dx²就是用一阶导数的结果对t求导，然后除以g(t)。

求y对x的二阶导数也还是可以当成是参数方程确定的函数的求导方式，因变量由y换作dy/dx，自变量还是x，故此，

y对x的二阶导数 ＝ dy/dx对t的导数 ÷ x对t的导数

dy/dt＝1/(1+t^2)

dx/dt＝1－2t/(1+t^2)＝(1+t^2-2t)/(1+t^2)

故此dy/dx＝1/(1+t^2-2t)

d(dy/dx)/dt＝[1/(1+t^2-2t)]＝－(2t-2)/(1+t^2-2t))^2

故此

d2y/dx2＝d(dy/dx)/dt ÷ dx/dt

＝-(2t-2)/(1+t^2-2t))^2 ÷ (1+t^2-2t)/(1+t^2)

＝(2-2t)(1+t^2)/(1+t^2-2t)^3

参数方程二次求导：

1、由参数方程确定的函数的高阶导数的求法与一阶导数的求法差不多的，也还是当成是一个参数方程确定的函数的导数问题，参数方程是：dy/dx＝dy/dt÷dx/dtx＝x(t)。

把x当成变量，dy/dx当成因变量来求一阶导数，y(x)=dy/dx，y

1

/4

例如：已知x=log（1+t2），y=t-arctan（t），求d2y/dx2（求y有关x的二阶导数）。

2

/4

先计算y有关x的一阶导数，用Mathematica套公式。

3

/4

化简一下上式，二阶导数，实际上就是求y的一阶导数有关x的导数。

4

/4

在Mathematica里面套公式就可以

步骤1/3

已知有x和y都是有关t的参数方程，求y对x的二阶导数

步骤2/3

我们先来求一阶导数：

dy/dx=dy/dt *dt/dx= dy/dt / dx/dt, 故此，y对x的一阶导数就等于y对t的一阶导数除以x对t的一阶导数

说明：因为，y和x都是有关t的参数方程，故此，求dy/dx时，需中间增多了dt作为桥梁，让y和x对t求导。

步骤3/3

再来求二阶导数：把对x求导转化为对t求导

二阶求导就是把上个步骤我们得出来的一阶导数再次求导，但要记住是对x参数求导，而一阶导数其实也还是是有关t的方程。故此，需和求一阶导数过程一样的，再次增多dt为桥梁，就变成了一阶导数对t求导再除以x对t求导。如图看过程，主要是红框中增多dt为桥梁的转换，后面就是正常的求导了。

dx、dy表示微分，当然可以拆开，针对参数方程，x=f(t)，y=g(t)，针对参数方程，先求微分：dx=f(t)dt，dy=g(t)dt，dy/dx=g(t)/f(t)，而假设先消去参数，t=fˉ¹(x)，y=g(fˉ¹(x)

)dy/dx=g(fˉ¹(x))*fˉ¹(x)=g(fˉ¹(x))/f(t)=g(t)/f(t)是一样的。而二阶导数，注意是d²y/dx²是什么意思呢？就是这里要把dy/dx看成是新的“y”，x还是等于f(t)，故此，应该这样：d(dy/dx)=[g(t)/f(t)

]dt=[g(t)f(t)-g(t)f(t)]/f(t)² dtdx=f(t)dtd²y/dx²=d(dy/dx)/dx=[g(t)f(t)-g(t)f(t)]/f(t)³

y''=d(dy/dx)/dx=[d(dy/dx)/dt]*(dt/dx)

因变量由y换作dy/dx，自变量还是x，故此，

y对x的二阶导数＝dy/dx对t的导数÷x对t的导数 dy/dt＝1/(1+t^2) dx/dt＝1－2t/(1+t^2)＝(1+t^2-2t)/(1+t^2)

dy/dx＝1/(1+t^2-2t) d(dy/dx)/dt＝[1/(1+t^2-2t)]'＝－(2t-2)/(1+t^2-2t))^2

d2y/dx2＝d(dy/dx)/dt÷dx/dt＝-(2t-2)/(1+t^2-2t))^2÷(1+t^2-2t)/(1+t^2) ＝(2-2t)(1+t^2)/(1+t^2-2t)^3

用除法求导法则可以得出公式，约分后产生3次方

d^2y/dx^2=d(cost/2)/dx=d(cost/2)/dt*dt/dx=d(cost/2)/dt*1/(dx/dt)就是一个数等于它的倒数的倒数微分时可以这样做的，因为本来的意思就是增量相比

参数方程二次求导：

1、由参数方程确定的函数的高阶导数的求法与一阶导数的求法差不多的，也还是当成是一个参数方程确定的函数的导数问题，参数方程是：dy/dx＝dy/dt÷dx/dtx＝x(t)。把x当成变量，dy/dx当成因变量来求一阶导数，y(x)=dy/dx，y(x)=d(y)/dx。

2、参数方程和函数很相似，它们都是由一部分在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。比如在运动学，参数一般是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中出现的。

质点运动时，它的位置肯定与时间相关系，这种类型实质上问题中的参变量被抽象到数学中就成了参数。参数方程中的参数，其任务在于沟通变量x，y及一部分常量当中的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。用参数方程描述运动规律经常常比用普通方程更为直接简单方便。

针对处理求大射程，大高度，飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有部分重要但较复杂的曲线（比如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，如圆的渐开线的普通方程。

按照方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，经常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。3、二阶导数是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。大多数情况下的函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）也还是是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。

二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。