牛顿莱布尼茨通俗易懂公式法则，牛顿莱布尼茨公式故事告诉我们什么

简单的方式就是类比，随意构造一个函数y=f（x），我们觉得这是某个物体沿直线运动的速度表达式，既然，我们清楚速度实际上就是位移的导数，以此我们就可以觉得，既然，了解了物体的速度表达式，不就等于了解了位移的表达式吗，故此，我们会找出他的原函数，以此求两个积分点的函数差

牛顿和莱布尼茨间的故事：

1 、1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚取得学士学位、准备留校任教的

牛顿被迫离开学校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万

有引力定律和光学的研究都启动F这个时期。在研究这些问题途中，他发现了他称为“流数术”的

微积分。

2、他在1666年写下了一篇有关流数术的短文， 后面又写了几篇相关文章。但是，这些文章当时

都没有公开发表，只是在一部分英国科学家中流传。第一次发表相关微积分研究论文的是德国哲学家莱

布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分，但是，也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发

现。

3、1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。两年后，他又发表了相关积分的研究。在瑞士

人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方式很快传遍了欧洲。到1696年时，已有微积分的教科书

出版。起初，并没有人来争夺微积分的发现权。1699 年，移居英国的一名瑞士人一个方面为了讨好英

国人，另外一个方面因为与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术，但此

人并无威望，受到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。

4、1704年，在其光学著作的附录中，牛顿第一次完整地发表了其流数术。当年产生了一篇匿名评

论，反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。于是究竟是谁第一发现了微积分，就成

了一个需处理的问题了。1711 年，苏格兰科学家、英国王家学会会员约翰.凯尔在致王家学会书

记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，只不过用不一样的符号表示法改头换面。

5、同样身为王家学会会员的莱布尼茨提出抗议，要求王家学会不允许凯尔的诽谤。王家学会组成一

个委员会调查此事，在第二年公布的调查报告中认定牛顿第一发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐

瞒他清楚牛顿的研究工作。这个时候牛顿是王家学会的会长，虽说公开的场合假装与这个事件无关，

但是，这篇调查报告实际上是牛顿自己起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。

6、 争论并没有因为这个偏向性非常明显的调查报告的出笼而平息。其实，这场争论一直延

续到了目前没有人，涵盖莱布尼茨自己，否认牛顿第一发现了微积分。问题是，莱布尼茨是不是独立

地发现了微积分？莱布尼茨是不是剽窃了牛顿的发现？

7、1673年，在莱布尼茨创建微积分的前夕，他曾访问伦敦。虽然他没有见过牛顿，但是，与一部分

英国数学家见上一面讨论过数学问题。这当中有的数学家的研究与微积分相关，甚至有可能给莱布尼茨看

过牛顿的相关手稿。莱布尼茨在临死前承认他看过牛顿的一部分手稿，但是，又说这些手稿对他没有价

值。

8、1676年，莱布尼茨甚至收到过牛顿的两封信，信中解读了牛顿对无穷级数的研究。虽然这些

通信后来被牛顿的支持者用来反对莱布尼茨，但是，它们依然不会含有创建微积分所需的具体信息。莱

布尼茨在创建微积分的途中究竟受到了英国数学家多大的影响，恐怕没人能说得清。后人在莱布

尼茨的手稿中发现他曾抄录牛顿有关流数术的论文的段落，并故将他内容改用他发明的微积分符号表

示。这个发现似乎对莱布尼茨不利。

9、但是我们没办法确定的是，莱布尼茨是具体是什么时候抄录的？假设是在他创建微积分以前，从某位

英国数学家那里看到牛顿的手稿时抄录的，那肯定可以做为莱布尼茨剽窃的铁证。但是，他也许是

在牛顿于1704年发表该论文时才抄录的，这个时候他自己的相关论文早已发表多年了。

10、后人通过研究莱布尼茨的手稿还发现,莱布尼茨和牛顿是从不一样的思路创建微积分的；牛顿是为

处理运动问题，先有导数概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想的影响，先有积分

概念，后有导数概念。牛顿只是把微积分当作物理研究的数学工具，而莱布尼茨则意识到了微积

分将会给数学带来一场革命。这些似乎又表达莱布尼茨像他一再声称的那样是自己独立地创建微

积分的。

11、就算莱布尼茨不是独立地创建微积分，他也对微积分的发展做出了重要奉献。莱布尼茨对微

积分表达得更了解，采取的符号系统比牛顿的更直观、合理，被普遍采纳沿用至今。因为这个原因目前的教

科书大多数情况下把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的创建者。

这里说的n阶导数，实际上是指对函数进行n次求导，就求函数的高阶导数中的n阶导数。有关n阶导数的常见公式可以分成两类：一类是常见导数，其实就是常说的初等函数的特殊形式的n阶导数；另一类是复合函数，涵盖四则运算的n阶导数公式。

第一类常见的n阶导数公式，主要涵盖幂函数，对数函数，指数函数，三角函数常见形式的n阶导数公式。

1、幂函数常见形式是y=x^n，它的n阶导数是n!. n为正整数，而对任何比n小的正整数m，幂函数y=x^m的n阶导数都等于0，涵盖常数函数的一阶的导数等于0，故此，n阶导数也等于0.

对特殊的幂函数y=1/x, 它的n阶导数是(-1)^n*(n!)/x^(n+1)； y=1/(1+x)的n阶导数类似的为(-1)^n*(n!)/(1+x)^(n+1)；而y=1/(1-x)的n阶导数就可以带来一定变化，它的n阶导数是(n!)/(1-x)^(n+1).

2、对数函数常见的形式是y=lnx, 它的n阶导数正好是1/x的n-1阶导数，这是因为lnx的一阶导数就是1/x. 故此，y=lnx的n阶导数是(-1)^(n-1)*((n-1)!)/x^n.

大多数情况下的对数函数形式是log_a x, 它的一阶导数是1/(xlna), 故此，n阶导数是(-1)^(n-1)*((n-1)!)/(x^n*lna).

3、指数函数常见的形式是y=e^x，它的n阶导数是它本身。另一个形式e^(-x)就要考虑符号性质，它的n阶导数是(-1)^n*e^(-x).

大多数情况下的指数函数是a^x，它的一阶导数是a^x*lna, 故此，n阶函数是a^x*(lna)^n.

4、三角函数经常会用到的是sinx和cosx. sinx的一阶导数正好是cosx, 而cosx的一阶导数又正好是-sinx. 为了将它们统一起来，我们记sinx的一阶导数是sin(x+π/2), 因为这个原因它的n阶导数就是sin(x+nπ/2). 又记cosx的一阶导数为cos(x+π/2), 因为这个原因cosx的n阶导数就是cos(x+nπ/2).

常见n阶（高阶）导数公式有莱布尼兹公式：(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)/2!u(n-2)v"+n(n-1)...(n-k+1)u(n-k)v(k)+...+ uv(n)；e（x）的任意导数都是e（x），即e（x）的n次方=e（x）。

莱布尼茨方程，即常微分方程y=x^2+y^2.语言表达为求这样一个函数，它的导数等于自变量与因变量的平方和.