有关椭圆的所有公式，如何理解椭圆参数方程

在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，主要还是看焦点所在的坐标轴：

1）焦点在x轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1

(ab0)

2）焦点在y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1

(ab0)

这当中a0，b0。a、b中很大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当ab时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2

,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

又及：假设中心在原点，但焦点的位置不明确在x轴或y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以当成圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ

，

y=bsinθ

标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是

xx0/a^2+yy0/b^2=1

椭圆的面积公式

s=π(圆周率)×a×b(这当中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).

或s=π(圆周率)×a×b/4(这当中a,b分别是椭圆的长轴,短轴的长).

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(l)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

l=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)

[椭圆近似周长],

这当中a为椭圆长半轴,e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点p到某焦点距离为pf，到对应准线距离为pl，则

e=pf/pl

椭圆的准线方程

x=±a^2/c

椭圆的离心率公式

e=c/a

椭圆的焦准距

：椭圆的焦点与其对应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/c)的距离,数值=b^2/c

椭圆焦半径公式

｜pf1｜=a+ex0

｜pf2｜=a-ex0

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点a,b当中的距离，数值=2b^2/a

点与椭圆位置关系

点m（x0，y0）

椭圆

x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内：

x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1

点在圆上：

x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外：

x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m （1）

x^2/a^2+y^2/b^2=1 （2）

由（1）（2）可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1

相切△=0

相离△＜0无交点

相交△＞0

可利用弦长公式：a(x1,y1)

b(x2,y2)

|ab|=d=√(1+k^2)|x1-x2|

=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|

=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2]

椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a



椭圆公式有|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，椭圆过右焦点的半径r=a-ex，过左焦点的半径r=a+ex，椭圆的标准方程是y^2/a^2+x^2/b^2=1。

椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a|F1F2|）。

椭圆的标准方程：焦点在x轴

x²／a²＋y²／b²＝1

焦点在y轴：y²／a²＋x²／b²＝1

椭圆的面积是πab

参数方程：x＝acosΘ y＝bsinΘ

a代表半长轴的长度，b代表半短轴的长度，r表示半径的长度。 分别以半短轴和半长轴为半径做椭圆的内接圆和外接圆。 椭圆上的任意一点A与内接圆上的A1点有一样的纵坐标，与外接圆上的A2点有一样的横坐标。 φ角是椭圆内接圆或外接圆的圆心角，不是椭圆上的点和原点连线与X轴的夹角。

参数方程，为数学术语，其和函数很相似：它们都是由一部分在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。比如在运动学，参数一般是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。

1、直角坐标系的椭圆方程是-x2/a2+y2/b2=1，

2、∵cos2t+sin2t=1，

∴x2/a2+y2/b2= cos2t+sin2t，

∴x2/a2 = cos2t ，y2/b2=sin2t，

x2 = a2cos2t ，y2=b2sin2t，

3、于是有椭圆的参数方程-x= acost ，y=bsint。

椭圆的参数方程:

中心点为（h，k），主轴平行于x轴时，

标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

F点在X轴(2张)

椭圆的标准方程有两种，主要还是看焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：

2）焦点在Y轴时，标准方程为：

椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a，F1,F2当中的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了表达方便设定的参数。

又及：假设中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1(m0，n0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以当成圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是：-b²x0/a²y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。

在给定的平面直角坐标系中，假设曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)且针对t的每一个允许值，由方程组⑴所确定的点m(x，y）都在这条曲线上，既然如此那，方程组⑴称为这条曲线的参数方程，联系x、y当中关系的变数称为参变数，简称参数。类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t）

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标

椭圆的参数方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数

椭圆

双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数

直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过（x',y'），且倾斜角为a,t为参数.

或者x=x'+ut，　 y=y'+vt (t∈R)x',y'直线经过定点（x',y'),u，v表示直线的方向向量d=（u，v）

圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ） y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π）） r为基圆的半径 φ为参数

圆的参数方程公式：x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ∈[0，2π)）(a，b)为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数，(x，y)为经过点的坐标。

圆的参数方程公式

参数方程有什么

曲线的极坐标参数方程：ρ=f(t),θ=g(t)。

圆的参数方程：x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ∈[0，2π)）。(a,b)为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数，(x,y)为经过点的坐标

椭圆的参数方程：x=acosθ，y=bsinθ（θ∈[0，2π））。a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数

双曲线的参数方程：x=asecθ（正割），y=btanθ，a为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数

抛物线的参数方程：x=2pt²，y=2pt，p表示焦点到准线的距离，t为参数

直线的参数方程：x=x+tcosa，y=y+tsina,x,y和a表示直线经过（x,y），且倾斜角为a,t为参数。或者x=x+ut，y=y+vt(t∈R)x,y直线经过定点（x,y),u，v表示直线的方向向量d=(u,v)

圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ），y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π））。r为基圆的半径，φ为参数

圆的公式

1.圆的周长C=2πr=πd

2.圆的面积S=πr²

3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2

5.圆锥侧面积S=πrl

圆的标准方程为

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

，

可以化为

[(x-a)/r]^2+[(y-b)/r]^2=1

，

注意到这与

(cosα)^2+(sinα)^2=1

类同，

因为这个原因设

(x-a)/r=cosα，(y-b)/r=sinα

，

可得

｛x

=

a+rcosα，y

=

b+rsinα

，那就是圆的参数方程，这当中

0

≤

α

2π

，为参数。