海伦定律的公式，海伦公式 四边形

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)。

海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方式和思路，在清楚三角形三边的长而不清楚高的情况下使用海伦公式可以很快更简单方便的得出面积。

例如说在测量土地的面积时，不需要测三角形的高，只要能测两点间的距离，完全就能够方便地导出答案。

古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的途中，这当中一个很难的问题是如何利用三角形的三边直接得出三角形面积。

这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但大家经常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式早出现在->海伦的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。

中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上带来一定不一样，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看得出来中国古代已经具有很高的数学水平。

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，方便记忆。

古人传说这个公式早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式早出现在->海伦的著作《测地术》中，故此，被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

P是假设有一个三角形，因为证明里面需用到(a+b+c)/2 ,设p=(a+b+c)/2 用p表示可以使证明更简单明了。

“海伦秦九韶公式”。设三角形的三边长为a、b、c，p=a+b+c2，则三角形面积△=p(p-a)(p-b)(p-c)。此公式由希腊数学家海伦发现，故名。中国南宋数学家秦九韶发现类似公式△=14c2a2-c2+a2-b222。他把三角形三边分别叫做大斜、中斜和小斜，故该式也称三斜求积公式。

海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但按照Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式实际上是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我们国内宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别是a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

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注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，故此，

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

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因为任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，故此，海伦公式可以用作求多边形面积的公式。例如说测量土地的面积时，不需要测三角形的高，只要能测两点间的距离，完全就能够方便地导出答案。

证明（1）：

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不一样，在这里我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别是A、B、C，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

故此三角型ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明（2）：

我们国内宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，实际上在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实质上丈量土地面积时，因为土地的面积并非的三角形，要找出它来并不是易事。故此，他们想到了三角形的三条边。假设这样做求三角形的面积也就方便多了。但是，怎样按照三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我们国内著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分又称为小斜、中斜和大斜。“术”即方式。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

这里说的“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，故此，

q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]

当P＝1时，△ 2＝q,

S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}

因式分解得

1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]

=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

这当中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式一模一样，故此，这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

实际上目前不少公式都不准用，据说一个切割线定理都不可以直接用了。我个人认为这不是什么好事，毕竟公式是用来套用的，假设没有经过证实的就不可以算公式了。既然，经过证实了，那完全就能够直接引用，为什么还要有证明才可以去使用呢。这里面肯定是一群这里说的的精英份子装。

因为平日间用处不大，大多数情况下都在竞赛里会用到