对数运算公式及推导，对数运算10个公式推导图片

公式及推导请看下方具体内容：

对数公式推导：log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)，loga(b)×logb(a)=1，loge(x)=ln(x)，lg(x)=log10(x)。

对数公式是数学中的一种常见公式，假设a^x=N(a0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，这当中a要写于log右下。这当中a叫做对数的底，N叫做真数。一般以10为底的对数叫做经常会用到对数，以e为底的对数称为自然对数。

对数运算10个公式请看下方具体内容：

1、lnx+lny=lnxy。

2、lnx-lny=ln(x/y)。

3、Inxn=nlnx。

4、In(n√x)=lnx/n。

5、lne=1。

6、In1=0。

7、Iog(A*B*C)=logA+logB+logC；logAn=nlogA。

8、logaY =logbY/logbA。

9、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)。

10、Iog(A)M=log(b)M/log(b)A(b0Eb#1)。

对数讲解

在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这算是一个数字的对数是一定要出现另一个固定数字（基数）的指数。

在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更大多数情况下来说，乘幂允许将任何正实数提升到任何实质上功率，总是出现正的结果，因为这个原因可以针对b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

ln函数的运算法则：ln(MN)=lnM+lnN，ln(M/N)=lnM-lnN，ln（M^n)=nlnM，ln1=0，lne=1，注意，拆开后，M，N需大于0。没有ln(M+N)=lnM+lnN，和ln(M-N)=lnM-lnN，lnx是e^x的反函数。

推导公式：

1、log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)

2、loga(b)*logb(a)=1

3、loge(x)=ln(x)

4、lg(x)=log10(x)

log(a)(b)表示以a为底b的对数。

计算ln的公式：ln=g*hk。LN函数是计算指定数值的自然对数。对数公式是数学中的一种常见公式，假设a^x=N(a0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，这当中a要写于log右下。

ln的换算公式请看下方具体内容

ln(MN)=lnM +lnN

ln(M/N)=lnM-lnN

ln（M^n)=nlnM

ln1=0

lne=1

对数公式是数学中的一种常见公式，假设a^x=N(a0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)，这当中a要写于log右下。这当中a叫做对数的底，N叫做真数。一般我们以10为底的对数叫做经常会用到对数，以e为底的对数称为自然对数。

图象特点函数性质(1)图象都位于×轴上方；(1)×取任何实数值时,都拥有 a 0；(2)图象都经过点(0,1)；(2)不管 a 取任何正数,x=0(3)2, y =I0在第一象限内( s )当 a 时,(0,则 o 的纵坐标都大于1，在第二象限内 x 0,则 a 1的纵坐标都小于1, y-g 的图当 oca 时,0, Wl x 0,则 a 1象正好相反；(4)y=2,y=10的图象自左到(4)当 a 1时, y = a 是増函右渐渐上升, y-e )的图象逐漸i0 a 1时, y = a 是减函数。下降。

高一数学有关对数的公式:

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数

　　*表示乘号，/表示除号

　　定义式：

　　若a^n=b(a0且a≠1)

　　则n=log(a)(b)

基本性质：

　　1.a^(log(a)(b))=b

　　2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)；

　　3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)；

　　4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

自然对数是以常数e为底数的对数，记作lnN（N0）。对数ln公式：ln(mn)=lnm+lnn；ln(m/n)=lnm-lnn；ln（m^n)=nlnm；ln1=0；lne=1。



自然对数是以常数e为底数的对数，记作lnN(N0)。在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义，大多数情况下表示方式为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。当自然对数lnN中真数为连续自变量时，称为对数函数，记作y=lnx(x为自变量，y为因变量)。

大多数情况下地，对数函数是以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。对数函数是6类基本初等函数之一。这当中对数的定义：假设ax=N(a0，且a≠1)，既然如此那，数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，这当中a叫做对数的底数，N叫做真数。

大多数情况下地，函数y=logaX(a0，且a≠1)叫做对数函数，其实就是常说的说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。这当中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)，即x0。它其实就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定，同样适用于对数函数。

定义：

若a^n=b(a0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

假设a0,且a≠1，M0,N0,既然如此那，：

1、a^log(a)(b)=b

2、log(a)(a)=1

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)；

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)；

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n

换底公式

log(a)(N)=log(b){N}÷log(b){a}

a^y=x↔y=log(a)(x)[公式表示y=log以a为底x的对数，a是底数，x是真数。另外a大于0，a不等于1，x大于0]。实质上计算途中指数和对数的转换，利用指数或者是对数函数的枯燥乏味性，这样完全就能够比较出来对数式或者是指数式...

对数的运算法则：

1、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N

2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N

3、log(a) M^n=nlog(a) M

4、log(a)b*log(b)a=1



1对数的概念

假设a(a0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,既然如此那，数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b,这当中a叫做对数的底数,N叫做真数.

由定义知：

（1）负数和零没有对数；

（2）a0且a≠1,N0；

（3）loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.

非常地,以10为底的对数叫经常会用到对数,记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.

2对数式与指数式的互化

式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)

3对数的运算性质

假设a0,a≠1,M0,N0,既然如此那，

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

(2)logaMN=logaM-logaN.

(3)logaMn=nlogaM (n∈R).

问：（1）公式中为什么要加条件a0,a≠1,M0,N0?

（2）logaan=? (n∈R)

（3）对数式与指数式的比较.(学生填表)

式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数

b—

N—a—对数的底数

b—

N—运

算

性

质am·an=am+n

am÷an=

(am)n=

(a0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN

logaMN=

logaMn=(n∈R)

(a0,a≠1,M0,N0)

难点疑点突破

对数定义中,为什么要规定a＞0,且a≠1?

理由请看下方具体内容：

（1）若a＜0,则N的某些值不存在,比如log-28

（2）若a=0,则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一,可以为任何正数

（3）若a=1时,则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一,可以为任何正数

为了不要上面说的各自不同的情况,故此，规定对数式的底是一个不等于1的正数

解题方法和技巧技巧

1

(1)将下方罗列出来的指数式写成对数式：

（1）54=625；（2）2-6=164；（3）3x=27；（4）13m=573.

（2）将下方罗列出来的对数式写成指数式：

（1）log1216=-4；（2）log2128=7；

（3）log327=x；（4）lg0.01=-2；

（5）ln10=2.303；（6）lgπ=k.

剖析解读由对数定义：ab=NlogaN=b.

解答(1)（1）log5625=4.（2）log2164=-6.

（3）log327=x.（4）log135.73=m.

解题方法和技巧

指数式与对数式的互化,一定要并且只要能紧紧抓住对数的定义：ab=NlogaN=b.(2)（1）12-4=16.（2）27=128.（3）3x=27.

（4）10-2=0.01.（5）e2.303=10.（6）10k=π.

2

按照下方罗列出来的条件分别求x的值：

(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；

(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.

剖析解读(1)对数式化指数式,得：x=8-23=?

(2)log5x=20=1. x=?

(3)31+log32=3×3log32=?27=x?

(4)2+3=x-1=1x. x=?

解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.

(2)log5x=20=1,x=51=5.

(3)logx27=3×3log32=3×2=6,

∴x6=27=33=(3)6,故x=3.

(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.

答题技巧和方法

（1）转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在处理相关问题时,常常进行着两种形式的相互转化.

（2）熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3

已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值.

剖析解读思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将会针对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值；

思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值

解答解法一∵logax=4,logay=5,

∴x=a4,y=a5,

∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.

解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得

logaA=loga(x512y-13)

=512logax-13logay=512×4-13×5=0,

∴A=1.

答题技巧和方法

有的时候，对数运算比指数运算来得方便,因为这个原因以指数形式产生的式子,可利用取对数的方式,把指数运算转化为对数运算.4

设x,y都是正数,且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.

剖析解读一个等式中含两个变量x、y,对每一个确定的正数x由等式都拥有惟一的正数y与之对应,故y是x的函数,以此lg(xy)也是x的函数.因为这个原因求lg(xy)的取值范围其实是一个求函数值域的问题,怎样才可以建立这样的函数关系呢?能不能对已知的等式两边也取对数?

解答∵x0,y0,x·y1+lgx=1,

两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.

即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).

令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).

∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.

解题规律

对一个等式两边取对数是处理含有指数式和对数式问题的经常会用到的有效方式；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得有关t的方程t2-St-S=0有实数解.

∴Δ=S2+4S≥0,解得S≤-4或S≥0,

故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).

5

求值：

(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；

(2)2log32-log3329+log38-52log53；

(3)设lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b的值；

(4)求7lg20·12lg0.7的值.

剖析解读(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.

(2)转化为log32的关系式.

(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b当中的关系,能不能从中得出ab的值呢?

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积,且指数含经常会用到对数,

设x=7lg20·12lg0.7能不能先得出lgx,再求x?

解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2

=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2

=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.

(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59

=2log32-5log32+2+3log32-9

=-7.

(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0),

∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.

∴ab=1或ab=4,这里a0,b0.

若ab=1,则a-2b0,a≠1,c0,c≠1,N0)；

(2)logab·logbc=logac；

(3)logab=1logba(b0,b≠1)；

(4)loganbm=mnlogab.

剖析解读(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数得出b就可能得证.

(2)中logbc能不能也换成以a为底的对数.

(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.

(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.

解答(1)设logaN=b,则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,

∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.

(2)由(1)logbc=logaclogab.

故此， logab·logbc=logab·logaclogab=logac.

(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.

解题规律

(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式,(2)(3)(4)是(1)的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中常常应用.针对对数的换底公式,既要擅长于正用,也要擅长于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab.

7

已知log67=a,3b=4,求log127.

剖析解读依题意a,b是常数,求log127就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能不能将log127转化为以6为底的对数,进一步转化为以3为底呢?

解答已知log67=a,log34=b,

∴log127=log67log612=a1+log62.

又log62=log32log36=log321+log32,

由log34=b,得2log32=b.

∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.

∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.

答题技巧和方法

利用已知条件求对数的值,大多数情况下运用换底公式和对数运算法则,把对数用已知条件表示出来,这是经常会用到的方式技巧8

已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z.

(1)求满足2x=py的p值；

(2)求与p接近的整数值；

(3)求证：12y=1z-1x.

剖析解读已知条件中给出了指数幂的连等式,能不能引进中间量m,再用m分别表示x,y,z?又想,针对指数式能不能用对数的方式去解答?

解答（1）解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316,

∴p=log316.

解法二设3x=4y=m,取对数得：

x·lg3=lgm,ylg4=lgm,

∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.

由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,

∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.

(2)∵2=log390,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式,想：能不能将真数中的一次式也转化为二次,进一步应用a2+b2=7ab?

解答logma+b3=logm(a+b3)212=

答题技巧和方法

（1）将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

（2）应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式,以方便应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.

∵a2+b2=7ab,

∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),

即logma+b3=12(logma+logmb).