连续自然数求和公式怎么推导出来前100个自然数之和等于多少

家都清楚高斯的1+2+3+...+100=5050

　　这便是1到100的自然数之和。 大多数情况下的自然数求和，我们可以用下面的公式:

　　#1 Sn = n * (n + 1) / 2

　　#2 Smn=(n+m)(n-m+1)/2

公式推导过程　　1.到n的自然数之和:Sn = n * (n + 1) / 2

　　把两个一样的自然数列逆序相加

　　2Sn=1+n + 2+(n-1) + 3+(n-2) + ... n+1

　　=n+1 +n+1 + ... +n+1

　　=n*(n+1)

　　Sn=n*(n+1)/2

　　2.m到n的自然数之和:Smn=(n-m+1)/2*(m+n)

　　(nm)

　　Smn=Sn-S(m-1)

　　=n*(n+1)/2 -(m-1)*(m-1+1)/2

　　={n*(n+1) - m(m-1)}/2

　　={n*(n+1) - mn + m(1-m) + mn }/2

　　={n*(n-m+1)+ m(1+ n-m)}/2

　　=(n+m)(n-m+1)/2

扩展式　　实际上自然数和就是等差数列

　　等差数列

　　1.通项公式

　　差为d的n项为：An=A1+(n-1)d

　　2.等差求和公式

　　Sn=(A1+An)n/2

　　Sn=n(A1)+ n(n-1)d/2

5050。前100个自然数为数字1至100，这是我们常说的连续自然数。求和时S=1+2+3+……+99+100。按照连续自然数相加时求和公式，S=（1+N）N/2。这个时候，N=100。将N=100，带进求和，就可以得出S=（1+100）*100/2=101*100/2=10100/2=5050。此外也可按照收尾相加等于101，可以得出中间为55+56，刚好有50对，计算结果与公式吻合。

1-100的全部自然数刚好可以组成一组等差为1的等差数列，利用等差数列公式就可以求得1-100全部自然数的和。S=(1+100)x100÷2 =101x100÷2 =10100÷2 =5050

各位考生都清楚高斯的1+2+3+...+100=5050

　　这便是1到100的自然数之和。 大多数情况下的自然数求和，我们可以用下面的公式:

　　#1 Sn = n * (n + 1) / 2

　　#2 Smn=(n+m)(n-m+1)/2

公式推导过程　　1.到n的自然数之和:Sn = n * (n + 1) / 2

　　把两个一样的自然数列逆序相加

　　2Sn=1+n + 2+(n-1) + 3+(n-2) + ... n+1

　　=n+1 +n+1 + ... +n+1

　　=n*(n+1)

　　Sn=n*(n+1)/2

　　2.m到n的自然数之和:Smn=(n-m+1)/2*(m+n)

　　(nm)

　　Smn=Sn-S(m-1)

　　=n*(n+1)/2 -(m-1)*(m-1+1)/2

　　={n*(n+1) - m(m-1)}/2

　　={n*(n+1) - mn + m(1-m) + mn }/2

　　={n*(n-m+1)+ m(1+ n-m)}/2

　　=(n+m)(n-m+1)/2

扩展式　　实际上自然数和就是等差数列

　　等差数列

　　1.通项公式

　　差为d的n项为：An=A1+(n-1)d

　　2.等差求和公式

　　Sn=(A1+An)n/2

　　Sn=n(A1)+ n(n-1)d/2

因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

故此，

2^3=1^3+3*1^2+3*1+1

3^3=2^3+3*2^2+3*2+1

4^3=3^3+3*3^2+3*3+1

5^3=4^3+3*4^2+3*4+1

……

n^3=(n-1)^3+3*(n-1)^2+3*(n-1)+1

(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1

上面全部式子相加，并在两边同时减去一样的项：

(n+1)^3=1^3+3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n

[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]=S

则n^3+3n^2+3n+1=1+3*S+3*(1+n)*n/2+n

化简得：S=n(n+1)*(2n+1)/6

Sn=1+√2+√3+√4+...+√n的求和通项公式..则太复杂了，我也不会

1与99的和是100，2加98等于100，3加97等于100，四加九十六也等于一百，五加九十五等于一百，这样下去，从而类推，到四十九加五十一也等于一百，就是四十九个一百，四十九乘以一百等于四千九百，然后另外，一个五十，另外，一个一百，结果是五千零五十

答从1~100的自然数相加等于45。这是因为从1~100的自然数是(1、2、3、4、5、6、7、8、9)，这9个数。

又因1+9=10，2+3+5=10，4+6=10，7+8=15，故此，这9个数加上和等于10+10+10+15=45。因为这个原因从1~100的自然数相加等于45是完全正确的。