数列求通项的七种方法及例题数列通式的通用公式



an+1=p·an+q的形式，这当中p、q为常数，求{an}的通项公式

这种类型题，{an}不是等比数列，但是，{an}的每一项加上或者减去一个常数后，就可以形成一个等比数列{bn}，并且{bn}公比为p。当{bn}的通项算出来后面，{an}的通项公式就比较容易解答出来









例题



已知an+1=3·an+2，且a1=1，求{an}的通项公式

解：

an+1+A=3(an+A)（1）

an+1+A=3·an+3A

an+1=3·an+2A

对比原式an+1=3·an+2，就可以清楚的知道2A=2，故此，A=1

备注：通过上式的解题步骤完全就能够算出这个常数值

令bn=an+1，则（1）式变为bn+1=3bn，即{bn}是一个以2(b1=a1+1)为首项，3为公比的等比数列

∴bn=2·3n-1，又bn=an+1

∴2·3n-1=an+1，就可以算出an=2·3n-1-1





题型二





an+1= an+pn+q的形式，这当中p、q为常数，求{an}的通项公式

这种类型题是通过累加的方法，结合等差数列的求和公式解答出来的。









例题



已知an+1= an+4n+1，a1=2，求{an}的通项公式

解：

将原式变更为an+1-an=4n+1

将每一项都罗列出来即请看下方具体内容

当n=1时，a2-a1=4*1+1

当n=2时，a3-a2=4*2+1

当n=3时，a4-a3=4*3+1

……

当n=n-2时，an-1-an-2=4*(n-2)+1

当n=n-1时，an-an-1=4*(n-1)2+1

将这些等式的左边都加在一起，右边的都加在一起

发现左边的只剩下“an-a1”，右边是一个等差数列

∴an-a1=4*[1+2+3……+(n-2)+(n-1)]+n-1

备注：判断右边式子总共有多少项相加是有一个建议的，就是用后一项的项数减去第一项的项数再加1，就是这个数列的总共的求和项数。比如这题：(n-1)-1+1=n-1，故此，后总共有n-1项。在运用等差数列求和公式时要注意项的个数问题。

∴an-a1=2n2-n-1，又a1=2

∴an=2n2-n+1

试题延伸：

an+1= an+p·qn+m，这当中p、q、m为常数，求{an}的通项公式，这个解题思路与上题是完全一样的，只是在整个右式相加时，换成求一个等比数列求和一个常数列的和。考生们可以尝试解答一下下面的习题。

变式：an+1= an+2·3n+1，这当中a1=1，求{an}的通项公式





题型三





an+1=p·an+q·pn+1的形式，这当中p、q为常数，求{an}的通项公式

这种类型题是将等式两边同时处置pn+1，得到一个新得等差数列{bn}，{bn}解答出来，既然如此那，{an}的通项公式也就解出来了。









例题



an+1=2·an+3·2n+1，a1=2，求{an}的通项公式

解：

等式两边同时除以2n+1，







题型四

(n+1)·an=n·an+1的形式，求{an}的通项公式

这种类型题是通过积累的方法，解答通项公式









例题

已知(n+1)·an=n·an+1，且a1=2，求{an}的通项公式

解：

∵(n+1)·an=n·an+1







题型五

an-an+1=p·an·an+1的形式，这当中p为常数，求{an}的通项公式

这种类型试题的特点是式子里面同时产生an，an+1和an·an+1，这个时候等式两边同时除以“an·an+1”就可以，就可以得到一个新的等差数列{bn}，{bn}解答出来后面{an}就可以解答出来。这是固定解题思路。



例题



已知an-an+1=2an·an+1，a1=1，求{an}的通项公式

解：

∵an-an+1=2an·an+1，等式两边同时除以an·an+1







题型六

an+1=panq的形式，这当中p、q为常数，求{an}的通项公式

这种类型试题结合对数对原式进行变形，得到一个新的等比数列{bn}，{bn}解答出来后面{an}就可以解答出来。



例题 :

已知an-an+1=2an·an+1，a1=1，求{an}的通项公式

解：

∵an-an+1=2an·an+1，等式两边同时除以an·an+1







题型七





按照Sn的表达式，求{an}的通项公式

这种类型试题解答相对比较简单，直接用an=Sn-Sn-1就可以解出{an}的通项公式

注意：产生Sn-1时，一定要备注n≥2









例题



已知Sn=n2+2n+1，求{an}的通项公式

解：

已知Sn=n2+2n+1（1）

∴Sn-1=(n-1)2+2(n-1)+1(n≥2)（2）

则（1）-（2）整理得：an=2n+1(n≥2)

∵a1=S1=4，不满足an=2n+1(n≥2)的通项公式



Sn=n*a1+n(n-1)d/2

等差数列公式

等差数列前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，假设一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差经常会用到字母d表示。

等差数列求和公式有

（1）等差数列公式an=a1+(n-1)d、

（2）前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2、

（3）若公差d=1时：Sn=(a1+an)n/2、

（4）若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq、

（5）若m+n=2p则：am+an=2ap，以上n都是正整数。

等差数列求和公式有几种写法

Sn=n(a1+an)/2

Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2/2+(a1-d/2)n

通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。



等差数列的公式

公差d＝（an－a1）÷（n－1）（这当中n大于或等于2，n属于正整数）；

项数＝（末项－首项来）÷公差＋1；

末项＝首项＋（项数－1）×公差；

前n项的和Sn＝首项×n＋项数（项数－1）公差／2；

第n项的值an＝首项＋（项数－1）×公差；

等差数源列中知项公式2an＋1＝an＋an＋2这当中｛an｝是等差数列；

等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2；

an＝am＋（n－m）d，若已知某一项am，可列出与d相关的式子解答an。

等比数列

An+1/An=q,n为自然数.

通项公式

An=A1*q^（n－1）；

推广式

An=Am·q^(n－m)；

求和公式

Sn=nA1(q=1)

Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)

性质

（1）若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq；

（2）在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

注意：上面说的公式中A^n表示A的n次方.

针对一个数列 {an}，假设任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，既然如此那，该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项a1 到第n项an 的总和，记为Tn 。

那么 通项公式为 (即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：a2=a1 * q,

a3= a2 * q,

a4= a3 * q,

an=an-1 * q,

以上(n-1)项相乘，左右消去对应项后，左边余下an ， 右边余下a1和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

除开这点 当q=1时 该数列的前n项和：Sn=nA1(q=1)

当q≠1时 该数列前n 项的和：Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)

等差数列通项公式：an=a1+（n-1）×d，d是公差；等比数列通项公式：an=a1×q^（n-1），q是公比。

1.

令n=1

a3=4a1+3=4×1+3=7

2.

a(n+2)=4an+3

a(n+2)+1=4an+4=4(an+1)

[a(n+2)+1]/(an+1)=4,为定值

a1+1=1+1=2,a2+1=3+1=4

数列{an +1}奇数项是以2为首项,4为公比的等比数列；偶数项是以4为首项,4为公比的等比数列

又(a2+1)/(a1+1)=2,因为这个原因数列{an +1}是以2为首项,2为公比的等比数列

an +1=2×2^(n-1)=2ⁿ

an=2ⁿ-1

n=1时,a1=2-1=1；n=2时,a2=4-1=3,均满足通项公式

数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1