定积分换元积分法讲解，二元积分换元法公式?

定积分的第一类换元积分法又叫凑微分法。可以同不定积分一样的方式进行凑微分，初学时学习一下微分公式，能熟练掌握并熟悉凑微分。把不定积分得出来后用代入上限的值减去代入下限的值就可以。

定积分的第二类换元要注意换元必换限。学习时继续夯实不定积分的第二类换元的方式：直接去根式换元，小公倍数去根换元，三角代换换元，倒代换换元等。同样把不定积分得出来后用代入上限的值减去代入下限的值就可以

答:换元积分法公式：dx=d（ax+b）a3。换元积分法是求积分的一种方式，主要运用引进中间变量作变量替换使原式简易，以此来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

依次换限，按照换元公式，把原来的上限代入得新的上限，原来的下限代入得新的下限。

换元时，不仅被积表达式代入改变，积分上下限对应改变。

令x-t=u,（式1）

t=0下限时，代入上式（式1），解得u=x，换元后的积分下限为x。

t=x上限时，代入上式（式1），解得u=0，换元后的积分下限为0。

扩展资料：

1、函数变量是x，t为积分变量，两者应注意区别。

2、积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，故此，我们只讨论积分变上限函数就可以。

3、从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积。

积分变限函数是一类重要的函数，它著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．其实，积分变限函数是出现新函数的重要工具，特别是它能表示非初等函数。

同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在不少场合都拥有重要的应用。

上限：t=x，使用u=x-t换元后对应： u=x-t=x-x=0

下限：t=0，使用u=x-t换元后对应： u=x-t=x-0=x

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，这当中x0=a，xn=b。就可以清楚的知道各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。

该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是大的区间长度），假设当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

这当中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

之故此，称其为定积分是因为它积分后得出的值是确定的是一个常数， 而不是一个函数。

1、 第一，要清楚一下，不定积分实际上就是求导的逆运算，就像下面的公式；只不过在后面加上常数C，因为加上C与不加C的导数结果一样，毕竟，常数的导数为0嘛。下图是书上的公式以验证词步骤。

2、其次，我们要谈论对第一类换元法的理解，这里说的的第一类换元实际上就是一种拼凑利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是有关f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，得出后的结果。

3、事实上第一类换元法的精髓理解非常的重要，第二类换元法是把复杂的换成简单，例如反三角函数，根式，倒数。事实上实质上与第一类换元法差很少。这个特别要注意关注一点，就是为了看到上去变得更简单了，请看下方具体内容图：

4、分布积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这种类型的，我觉得很好的记忆方式是把这当中一些利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

5、好了，毕竟不定积分试题很多，我不可以一一列举，我再讲解一下学习不定积分的哪些重要，第一，相信自己可以学好；第二，觉得简单的不要轻视它。因为下个学期的不少难点的基础部分都是它。请看下方具体内容图，

定积分的乘除法则：

定积分有分步积分，公式∫udv = uv - ∫vdu

没啥乘除法则

定积分没有乘除法则，多数用换元积分法和分部积分法。

换元积分法就是对复合函数使用的：

设y = f(u)，u = g(x)

∫ f[g(x)]g(x) dx = ∫ f(u) du

换元积分法有分第一换元积分法：设u = h(x)，du = h(x) dx

和第二换元积分法：即用三角函数化简，设x = sinθ、x = tanθ及x = secθ

还有将三角函数的积分化为有理函数的积分的换元法：

设u = tan(x/2)，dx = 2/(1 + u²) du，sinx = 2u/(1 + u²)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)

分部积分法多数对有乘积关系的函数使用的：

∫ uv dx

= ∫ udv

= uv - ∫ vdu

= uv - ∫ vu du

这当中函数v比函数u简单，籍此简化u。是由导数的乘法则(uv) = uv + vu推导过来的。

有的时候，候v = 1的，比如求∫ lnx dx、∫ ln(1 + x) dx等等。

还有一个有理积分法：将一个大成绩分裂为哪些小成绩。

比如1/(x² + 3x + 2) = 1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) - 1/(x + 2)

复合函数的积分计算公式是∫udv=uv-∫vdu。

复合函数的积分大多数情况下能用到换元法来解。换元后不仅积分变量要随之改变，积分限也要随这改变。

在我们写出换元法的公式以前，我们先写了解它的作用区间。这个是数学的惯例，我们写一个公式或者是定理或者是式子，都需标明适用范围。我们假设函数f(x)在区间[a, b]上连续。

函数x=φ(t) 满足：

φ(α) = a, φ(β) = b

φ(t) 在区间[α, β]，或者[β, α]上具有连续导数，值域是[a, b]，既然如此那，：

这个式子成立很明显，但为了严谨，我们还是来证明一遍。

等式的左边很简单就是我们常见的积分函数，我们假设f(x)在区间[a, b]上的原函数是F(x)，既然如此那，等式左边按照牛顿-莱布尼茨公式，可以得到：

故此，我们重点特别要注意关注的是等式右边，等式右边也做类似处理，我们假设Φ(t) = F[φ(t)]。

我们对Φ(t) 求导，可以得到：

通过求导我们可以发现， Φ(t) 是 f[φ(t)]*φ'(t)的原函数。故此，：

故此，我们就证明完了，整个证明过程依然不会难，比较困难的点在于我们在处理等式右边时是咋想到令Φ(t) = F(φ(t))的呢？这是一个很巧妙的点。想到这个不太容易，假设是我从头启动证明，我可能会往Φ(t)的原函数上想，估计不太容易想到将F(x)引入进来。

我们理解了换元解答定积分的方式后面，我们一起来看一道经典例题讲解来熟悉一下。这个例题还是经典的三角换元：

我们比较容易想到我们可以令x = a sint，这样， dx = a cost dt。当x=0时，t=0，当x=a时，t= π/2，我们代入原式可以得到：

明白了原理后面，我们也可将换元公式反过来用。其实就是常说的说当我们凑到 t = φ(x) 的情况时，也一样可以使用换元公式。