连续平方数计算方法，连续自然数平方计算公式是什么

连续自然数平方和公式：n=(n+1)(2n+1)/6。平方和，数学术语，定义为2个或多个数的平方相加。一般是一部分正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可是无限多。自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0启动，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

在平面上取 个点，让这些点1.在直线 上有 个点 2.这些点呈倒三角形，且均匀分布下面，我们让每个点的质量为 ，来计算它们的重心的纵坐标1、暴力计算直接把每个点的纵坐标相加，取平均值，得到 2、利用重心的性质这里不太严谨，但我们暂且把这个点阵当成正三角形来计算既然如此那，由平面几何中的一部分熟知结论，我们清楚重心位于三角形中线的三等分点上于是 通过上面两种方式得到的结果应是一样的，故此， 而 故此， 就得到了自然数平方和公式

设中间的数为x，较小的数为X一丨，很大的数为x十1，则有:(x一1)^2十x^2十(X十1)^2=3x^2十2。

如求2，3，4三个数平方和可以这样求:3X3^2十2二29。不妨证明一下:2X2十3X3十4x4=4十9十16=29。

x的平方求导方式：x²导入公式(x^n)=nx^(n-1)，得（x²）=2x^（2-1）=2x。x²求导得2x。

求导是数学计算中的一个计算方式，定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。

求导是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。物理学、几何学、经济学等学科中的一部分重要概念都可以用导数来表示。如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

平方和公式请看下方具体内容：

平方和公式是一个比较经常会用到公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）其实就是常说的正方形数的级数

平方和公式：

1、1^2+2^2+……n^2=n(n+1)(2n+1)/6

（各数的平方之和）

2、a²+b²=(a+b)²-2ab =(a-b)²+2ab（完全平方公式的变形）

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6

即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)

证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6

证法一（归纳猜想法）：

1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1

2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5

3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6

则当N＝x＋1时，

1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2

＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6

＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6

＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6

＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6

也满足公式

4、综合上面所说得出所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

..............................

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.

把这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

因为1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式得：

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n

整理后得：

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

若a是整数,既然如此那，a~2就叫做a的完全平方数,

比如:1,4,16,31,100,…若a为整数,n为自然数,既然如此那，a~2、(a+1)~2(a+2)~2、…、(a十n)~2叫做连续完全平方数。比如:1,4,9,16,25,36,49,64,…连续完全平方数有什么性质呢? 我们清楚,16= 4~2,25=5~2,在16和25当中的任意整数都不是完全平方数。

那就是说:在两个连续正整数的平方当中不可能再有完全平方数。我们可以证明这个结论。

证明: 设n和n+1是两个连续正整数。若有一个正整数a,让a~2在n~2和(n+1)~2当中,即n~2

平方相加的公式就是平方和公式，这是一个比较经常会用到公式，用于求连续自然数的平方和（Sumofsquares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（squarepyramidalnumber）其实就是常说的正方形数的级数。

此公式是冯哈伯公式(Faulhabersformula)的一个特例。

故此，：(n+1)^3-1=3*[1^2+2^2+n^2]+3*[1+2+n]+n，或S=(1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)]=(1/6)n(n+1)(2n+1)

n 项平方和公式: En = n ( n +1)(2n+1)/6,平方和定义为2个或多个数的平方相加。一般是一部分正整数的平方之和,整数的个数可以是有限个,也可是无限多。

br 平方和公式是一个比较经常会用到公式,用于求连续自然数的平方和,其和又可称为四角锥数,或金字塔数其实就是常说的正方形数的级数。利用的立方差公式来推导 a -6=( a - b )( a + ab + b )

自然数平方和公式推导：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6；利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n；2^3-1^3=2*2^2+1^2-2，3^3-2^3=2*3^2+2^2-3，4^3-3^3=2*4^2+3^2-4....n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n。

平方和公式是一个比较经常会用到公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数其实就是常说的正方形数的级数。平方和定义为2个或多个数的平方相加。一般是一部分正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可是无限多。