三角函数的导数和微分公式，高次三角函数怎么求导

(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(tanx)=sec²x=1+tan²x

(cotx)=-csc²x

(secx) =tanx·secx

(cscx) =-cotx·cscx.

(tanx)=(sinx/cosx)=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec²x

扩展资料：

基本三角函数关系的速记方式

六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在请看下方具体内容关系：

1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

3）阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值。

(sinx) = cosx

(cosx) = - sinx

(tanx)=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2

-(cotx)=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

(secx)=tanx·secx

(cscx)=-cotx·cscx

(arcsinx)=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)=-1/(1-x^2)^1/2

(arctanx)=1/(1+x^2)

(arccotx)=-1/(1+x^2)

(arcsecx)=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arccscx)=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(sinhx)=coshx

(coshx)=sinhx

(tanhx)=1/(coshx)^2=(sechx)^2

(coth)=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

(sechx)=-tanhx·sechx

(cschx)=-cothx·cschx

三角函数求导公式证明过程

以(cosx) = - sinx作为例子，推导过程请看下方具体内容：

设f(x)=sinx；

(f(x+dx)-f(x))/dx=(sin(x+dx)-sinx)/dx=(sinxcosdx+sindxcosx-sinx)/dx因为dx趋近于0cosdx趋近于1(f(x+dx)-f(x))/dx=sindxcosx/dx按照重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一。

(f(x+dx)-f(x))/dx=cosx，即sinx的导函数为cosx。

同理可得，设f(x)=cos(f(x+dx)-f(x))/dx=(cos(x+dx)-cosx)/dx=(cosxcosdx-sinxsindx-sinx)/dx。

因为dx趋近于0cosdx趋近于1(f(x+dx)-f(x))/dx=-sindxsinx/dx，按照重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一(f(x+dx)-f(x))/dx=-sinx即cosx的导函数为-sinx。

取Δx→0，sinx导数约推导过程为lim[sin(x+Δx)-sinx]/Δx=lim(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=limsinx(cosΔx-1)/Δx+limcosxsinΔx/Δx=cosx

1、正弦函数sinx的导数：(sinx) = cosx 

2、余弦函数cosx的导数：(cosx) = - sinx 

3、正切函数tanx的导数：(tanx)=(secx)^2=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2 

4、余切函数cotx的导数：(cotx)=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2=(cotx)^2 -1

5、正割函数secx的导数：(secx)=tanx·secx 

6、余割函数cscx的导数：(cscx)=-cotx·cscx

扩展资料

三角函数的导数记忆：

1、正变余，余变正：正弦的导函数是对应的余弦函数。

2、切割方：切函数的导函数是对应割函数的平方。

3、割乘切：割函数的导函数是该割函数乘以切函数

1.锐角三角函数公式

sinα=∠α的对边/斜边

cosα=∠α的邻边/斜边

tanα=∠α的对边/∠α的邻边

cotα=∠α的邻边/∠α的对边

2.倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2是sinA的平方sin2（A））

3.三倍角公式

sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a=tana•tan(π/3+a)•tan(π/3-a)

4.三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

5.辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，这当中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

6.四倍角公式

sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]

cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)

tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)

7.降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

arctanx的导数：y=arctanx，x=tany，dx/dy=sec²y=tan²y+1，dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tan²y+1)=1/(1+x²)。

假设函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内枯燥乏味、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，既然如此那，它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可以导，且

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

三角函数求导公式：

(arcsinx)=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)=-1/(1-x^2)^1/2

(arctanx)=1/(1+x^2)

(arccotx)=-1/(1+x^2)

(arcsecx)=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arccscx)=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(sinx)'=cosx,

(cosx)'=-sinx,

(tanx)'=(sinx/cosx)'

=(cos²x+sin²x)/cos²x

=sec²x,

cotx=1/tanx,

secx=1/cosx,

cscx=1/sinx,

记住前面的这3个完全就能够了，后面三个通过倒数关系推导一下就可。