数学数列构造法公式，如何构造新数列来求数列的通项公式法

一、构造等差数列法例题一.在数列{an}中，，求通项公式an。解：对原递推式两边同除以可得：（1）令（2）则（1）即为，则数列{bn}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入（2）式中得。故所求的通项公式是二、构造等比数列法1.定义构造法利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方式。例题二.设在数列{an}中，，求{an}的通项公式。解：将原递推式变形为（1）（2）（1）/（2）得：，即（3）设（4）（3）式可化为，则数列{bn}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入（4）式得：＝，解得为所求。2.（A、B为常数）型递推式可构造为形如的等比数列。例题三.已知数列，这当中，求通项公式。解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。3.（A、B、C为常数，下同）型递推式可构造为形如的等比数列。例题四.已知数列，这当中，且，求通项公式an。解：将原递推变形为，设bn＝。（1）得（2）设（2）式可化为，比较得于是有数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。故此即，代入（1）式中得：为所求。4.型递推式可构造为形如的等比数列。例题五.在数列中，，求通项公式。解：原递推式可化为，比较系数可得：，，上式即为是一个等比数列，首项，公比为。故此，。即，故为所求。

通项公式有这六种求法：

1．观察归纳法

2．运用数列的通项与其前n项和当中的关系法：(就是an=s(n+1)-sn)

3．构造新数列法：通过还未确定系数法设a(n+1)+x=c(an+x)，构造出一个新的等比数列（｛an+x ｝），以此得出通项．(你讲的是这个？) 4.可以通过把已知条件式取倒数（这样的用得少 我差不多就没用到过 了解下） 5.累加法 累乘法 6．计算、猜想结合数学归纳法证明法：（要用数学归纳法证明的 有点麻烦）

针对既不是等差数列，又不是等比数列的数列，可用构造法求数列的通项。

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中处理递推式的基本方式。

典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)

注：我感觉大多数情况下非用不动点不可的也就这个了，故此，记住它的解法就足够了。 我们假设用大多数情况下方式处理此题也不是不可以，只是又要还未确定系数，又要求倒数之类的，太复杂，假设用不动点的方式，此题就比较容易了。

令x=(ax+b)/(cx+d) ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。令此方程的两个根为x1，x2， 若x1=x2 ，则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，这当中P可以用还未确定系数法解答，然后再利用等差数列通项公式解答。

注：假设有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d) 若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)

这当中q可以用还未确定系数法解答，然后再利用等比数列通项公式解答。

扩展资料：

设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组为F(x)=0，然后把方程组改成方便迭代的等价形式x=ψ(x)，由此完全就能够构造出不动点迭代法的迭代公式为xk+1=ψ(xk)，假设得到的序列{xk}满足lim(k→∞)xk=x*，则x*就是ψ的不动点，这样完全就能够得出非线性方程组的解。

不动点法(fixed point method)是解方程的一种大多数情况下方式，对研究方程解的存在性、唯一性和详细计算有重要的理论与实用价值。数学中的各自不同的方程，诸如代数方程、微分方程和积分方程等等，都可以改写成

的形式，这当中

是某个一定程度上的空间

中的点，

是从

到

的一个映射，把点

变成点

。

于是，方程的解就基本上等同于映射

在空间

中的不动点。这一方式把解方程转化为求某个映射的不动点，故而得此名。其优点在于可以把几何、拓扑和泛函分析中较深入透彻的工具应用于方程论。

构造数列就是对一个数列的每一项加上或者减去一个数，促使其变成等差数列或者等比数列，

比如，

数列{an}中，a1=2,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式，

解

由an+1=2an+1

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