一元二次方程三种公式，一元二次方程组的解集公式是什么

1、公式法。在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△=b²-4ac＞0时，方程有两个解，按照求根公式x=（-b±√（b²-4ac））/2a即刻得出结果；△=b²-4ac=0时，方程唯有一个解x=-b/2a；△=b²-4ac＜0时，方程无解。

　　2、配方式。将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。

　　3、因式分解法。通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。

一、直接开平方式。

如：x^2-4=0 解：x^2=4 x=±2(因为x是4的平方根） ∴x1=2,x2=-2 二、配方式。

如：x^2-4x+3=0 解：x^2-4x=-3 配方，得(配一次项系数一半的平方） x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2(方程两边同时加上2^2，原式的值不变） （x-2)^2=1【方程左边完全平方公式得到（x-2)^2】 x-2=±1 x=±1+2 ∴x1=1,x2=3，以上都是做为参考

1、因式分解法：（1）因式分解法原理是利用平方和公式（a±b）2=a2±2ab+b2或平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，把公式倒过来用就是了。（2）比如x2+4=0这个能用到平方差公式，把4看成22，就是x2+22 = (x-2)(x+2)再分别解出完全就能够了。（3）0乘以任何数都得0，(x-2)要是0既然如此那，x=2，(x+2)等于0既然如此那，x=-2，这样完全就能够了。

2、配方式：（1）配方式不算超级难但很重要，配方式可以求二次函数顶点和坐标，也可解一元二次方程。第1个步骤，先化为ax2+bx=c的形式。（2）第2个步骤，取一次项系数b一半的平方，再方程。b=8，先取一半，就是4，然后平方就是16，两边同时加上，就是x2+8x+16=2+16。（3）变一下形，平方和公式逆用，16看成42，就是(x+4)2=18。（4）然后直接开平方，x+4=±√18，再移项化简，x=±3√2-4。（5）然后再把解分别写出来就完成了

3、公式法：公式法比较简单，2x2-x=6先化为大多数情况下形式ax2+bx+c=0的形式，然后找出a,b,c,再直接套用公式(-b±√b2-4ac)÷2a，Δ＝b2-4ac＞0有两个不相等的实数根，Δ＝b2-4ac＝0有两个相等的实数根，解得x1＝2 x2＝-2/3

求根公式 X=一b土根号(b^2一4αc)/2α

韦达定理 X1十Ⅹ2=一b/α，X1xX2=c/α

判别式=b^2一4αc。

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程经过整理都可化成大多数情况下形式ax²+bx+c=0（a≠0）， 这当中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项 。





公式法是解一元二次方程的一种方式，也指套用公式计算某事物。

另外还有配方式、十字相乘法、直接开平方式与分解因式法等解方程的方式。公式表达了用配方式解大多数情况下的一元二次方程的结果。

按照因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带进求根公式，可不要配方过程而直接得出根，这样的解一元二次方程的方式叫做公式法。

公式法是按照一元二次方程y=ax2+bx+c的各个系数直接解一元二次方程的一种方式。按照因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带进求根公式，可不要配方过程而直接得出根。

公式法步骤

1、得出根的判别式

一元二次方程中，根的判别式为Δ= b2－4ac。

2、判断根的个数

当Δ0时，方程有两个不一样的根；当Δ=0时，方程有两个一样的根；当Δ0时，方程无根。

3、代入公式求根

当Δ0时， x1=-b+√Δ/2a，x2=-b-√Δ/2a

当Δ=0时,x1=x2=-b/2a

当Δ0时，方程无根

一元二次方程求根公式

当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a

只含有一个未知数，并且未知数项的高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标

准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）这当中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是

一次项系数；c叫作常数项。



扩展

在运用公式法时，未必要使用完整的公式。这当中b^2-4ac又称为一元二次方程的判别式，经常会用到表示。判别式的满足性质决定了一元二次方程根的情况：

当0时，一元二次方程是没有实数根的，这时在实数范围内，就不用继续运用完整的公式去求根了，只说明“方程没有实数根”完全就能够了。

当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，因为0的平方根仍是0，因为这个原因方程的根是x=-b/(2a)，正好是对应的抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴的形式。

唯有当0时，一元二次方程有两个不等的实数根，才需用到整个求根公式。这时只要把方程的三个参数代入完全就能够了。但是，千万要注意，针对有关x的一元二次方程bx^2+ax+c=0或者ax^2-bx+c=0，直接用求根公式表示它的根反而完全错误的。这个问题就要涉及到求根公式的来源了。

求根公式实际上是对一元二次方程的大多数情况下式ax^2+bx+c=0运用配方式求根得到的结果。有多少学生会自己动手去进行这番操作呢？只要自己动手推出过求根公式，就可以过明白求根公式的本质，以后就不出现乱用求根公式的情况了。

此外因式分解法的本质，实际上也与求根公式相关，记x1,x2表示求根公式的两个不一样的结果，将一元二次方程ax^2+bx+c=0进行因式分解，就是把方程写成(x-x1)(x-x2)=0的形式。这样就不仅能在有理数的范围内进行因式分解，还可在无理数的范围内进行因式分解了。

后，一元二次方程的根与系数的关系，x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，即韦达公式，实际上也是由求根公式推出来的。

一元二次公式法的公式是△=b²-4ac。

直接开平方式 例子：5χ²-45=0 整理为 X²=9 故此，X=±3

降次 例子：3（X-1）²=27可化为 （X-1）²=9 降次得X-1=±3，方程的根为X1=4，X2=-2

配方式：4X²+2X=8配方得4X²+2X+1²=8+1² （2X+1）²=9 2X+1=±3 X1=1

X2=-2

公式法：任何一元二次方程都可以写成大多数情况下形式aX²+bX+c=0（a≠0）要将二次项系数其实就是常说的a化为1，带进X=b²-√4ac/2a （√4ac为根号4ac，/为分号），

4ac=Δ，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根。

因式分解法 例子：（X-2）²=2-X 移项得（X-2）²+X-2=0 因式分解得（X-2）（X-2+1）=0 故此， X-2=0或X-1=0，故此，X1=4，X2=-2

一元二次方程公式法的由来:

ax²+bx+c=0(a≠0)

x²+b/a x+c/a=0

x²+b/a x+b²/4a²-b²/4a²+4ac/4a²=0

(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a²=0

[x+b/2a+√b²-4ac/2a][x+b/2a-√b²-4ac/2a]=0

ⅹ1，2=(-b±√b²-4ac)/2α

′

一元二次方程的求根公式是：[-b±根号内(b^2-4ac)]/(2a)，这个很多人都清楚。这当中b是一次项系数，a是二次项系数，而c是常数项，b^2-4ac是方程的判别式，记作“△”。利用它来解一元二次方程是通用的方式，基本上全部的一元二次方程，都可以用公式法求得方程的根（涵盖没有实数根的情况）。但你清楚这个求根公式是咋来的吗？



实际上求根公式是由配方式推出来的。对一元二次方程的大多数情况下式ax^2+bx+c=0(a不等于0)，运用配方式解方程，完全就能够得到这个求根公式。

按照配方式的大多数情况下步骤，先将常数项移到方程的右边，得到ax^2+bx=-c；然后两边同时除以二次项的系数a，得到x^2+bx/a=-c/a。 方程两边同时加上这个时候的一次项系数的一半的平方，得到x^2+bx/a+(b/(2a))^2=-c/a+(b/(2a))^2。左边就形成了完全平方公式的展开式，对它进行因式分解，而右边则可以通分相加，得到(x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(2a)^2.

因为左边不小于0，右边分母大于0，故此，当b^2-4ac小于0时，方程就没有实数根，而当b^2-4ac=0时，x+b/(2a)=0，方程就有两个相等的实数根x=-b/(2a)，这也是方程对应的二次函数的对称轴。当b^2-4ac0时，两边同时开方，就得到x+b/(2a)=±根号内(b^2-4ac)/(2a)。移项使方程化为简的形式，就得到了一元二次方程的求根公式[-b±根号内(b^2-4ac)]/(2a)。

因为b^2-4ac的符号性质决定了方程根的情况，故此，b^2-4ac就被称为一元二次方程的判别式。

一、用公式法求一元二次方程的根的步骤:

1、将方程化为大多数情况下式ax²+bⅹ+c=0(a≠0）的形式。

2、确定a、b、c的值。

3、求b²-4ac的值，按照判别式的值的情况，判断根的情况。判別式0，两二不等根；判别式=0，有两等根；判别式0，没有实数根。

4、代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac）]/2a求根。

5、把根拆成x1= ，x2= 的形式。注意‘1’在‘x’的右下角。

二、在实数范围内用公式法分解有关x的二次三项式ax²+bx+c的步骤:

1、先求ax²+bx+c=0的根x1，ⅹ2。

2、代入ax²+bx+c=a(x-x1)(ⅹ-x2)

总结:用公式法处理问题应先找到对应公式中的各个量的详细值，再代入公式。

步骤:故将他转换成大多数情况下形式，即ax+bx = c = 0；二次系数变为1；将常数项移到等号的右边，其实就是常说的说，将项移到右边；两边同时加上主项系数一半的平方，形成一个完整的平方公式；平方根。计算x的值。



步骤1:将原始方程转换成一个通用公式

原始方程简化为大多数情况下形式，即ax+bx+c = 0 (a ≠ 0)。

第2个步骤:系数变为1

将方程的两边除以二次项的系数，使二次项的系数为1，并将常数项移到方程的右边。

第3个步骤:将等式两边平方

将主项系数的平方的一半同时加到方程的两边，将左边匹配成完全平坦的模式，将右边匹配成常数项。

步骤4:平方根解

除开这点通过直接开平方式取得方程的解。假设右边是非负的，这个方程有两个实根。假设右边是一个负数，这个方程有一对共轭虚根。

示例分析Y = 2x-12x+7

= 2(x-6x+3.5)-建议使用二次系数“2”

= 2(x-6x+9+3.5-9)-6的一半的平方是9，加上9，再减去9。

= 2 [(x-3)-5.5]-x-6x+9是完全平方，等于(x-3)

= 2(x-3)-1二次系数再次相乘

因为这个原因，二次函数的顶点坐标是(3，-11)。

y=ax +bx+c

=a(x +bx/a)+c

=a[x +bx/a+(b/2a) -(b/2a) ]+c

=a[x+(b/2a)] -a(b/2a) +c

=a[x+(b/2a)] -b /4a+c

=a[x+(b/2a)] +(4ac-b )/4a

一元二次方程的两个根可以通过因式分解法和十字相乘法解出。

1、因式分解法：又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的主要内容在八年级上学期学完。

用因式分解法解一元二次方程的步骤：

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别是0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

举比如：解方程：x²+2x+1=0

解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0

解得：x=-1

2、十字相乘法：x的平方+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

例子：ab+b²+a-b- 2

=ab+a+b²-b-2

=a(b+1)+(b-2)(b+1)

=(b+1)(a+b-2)

求根公式：第一要运用Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有哪些根：

（1）当Δ=b²-4ac0时 x无实数根（初中）。

（2）当Δ=b²-4ac=0时 x有两个一样的实数根 即x1=x2。

（3）当Δ=b²-4ac0时 x有两个不一样的实数根。

当判断成功后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可按照公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a来求得方程的根。

扩展资料：

一元二次方程根的判别式。

1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：

在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²­4ac

若△＞0则方程有两个不相等的实数根。

若△=0则方程有两个相等的实数根。

若△＜0则方程没有实数根。

2、这个定理的逆出题也成立，即有请看下方具体内容的逆定理：

在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²­4ac。

若方程有两个不相等的实数根，则△＞0。

若方程有两个相等的实数根，则△=0。

若方程没有实数根，则△＜0。

3、假设二次项系数中含有字母，要考虑二次项系数不为零这个限制条件。

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