参数方程的所有公式，曲线的标准方程与参数方程的关系

在给定的平面直角坐标系中，假设曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)且针对t的每一个允许值，由方程组⑴所确定的点m(x，y）都在这条曲线上，既然如此那，方程组⑴称为这条曲线的参数方程，联系x、y当中关系的变数称为参变数，简称参数。类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t）

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标

椭圆的参数方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数

椭圆

双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数

直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过（x',y'），且倾斜角为a,t为参数.

或者x=x'+ut，　 y=y'+vt (t∈R)x',y'直线经过定点（x',y'),u，v表示直线的方向向量d=（u，v）

圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ） y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π）） r为基圆的半径 φ为参数

直角坐标方程是一个曲线方程在直角坐标下的形式f（x，y）=0，对应的有极坐标形式。

参数方程是在曲线方程中引入参数来表示，如x=rcosa,y=rsina；引入参数a来表示x，y；

普通方程假设你指的是圆锥曲线就是大多数情况下广义的形式Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0；

标准方程是指一部分曲线如圆，椭圆，对称中心在坐标原点，并且有关坐标轴对乘，没有平移或者旋转的方程形式

　　圆锥曲线公式：椭圆

　　1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：这当中x²/a²+y²/b²=1,这当中ab0,c²=a²-b²

　　2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,这当中ab0,c²=a²-b²

　　参数方程：x=acosθ；y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)

　　圆锥曲线公式：双曲线

　　1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,这当中a0，b0，c²=a²+b².

　　2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,这当中a0，b0，c²=a²+b².

　　参数方程：x=asecθ；y=btanθ(θ为参数)

　　圆锥曲线公式：抛物线

　　参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)非常地，t可等于0

　　直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)

曲线是动点运动时，方向连续变化所成的线。也可想象成弯曲的波状线。任何一根连续的线条都称为曲线，涵盖直线、折线、线段、圆弧等。曲线可以作为数学名词的同时，又可特指人体的线条。

经常会用到的曲线参数方程有：

（1）圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数 （2）椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数 （3）双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数

曲率(k):描述曲线下降长度随的视角变化，k=limα→0∣∣ΔαΔs∣∣k=limα→0⁡|ΔαΔs|

R=1k=[1+(dydx)2]32d2ydx2=[1+(f′)2]32f′′R=1k=[1+(dydx)2]32d2ydx2=[1+(f′)2]32f″ （1）

曲率半径计算公式

推导过程

曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆的半径，在limΔs→0ΔαΔs=dαdslimΔs→0⁡ΔαΔs=dαds存在的条件下，k=∣∣dαds∣∣k=|dαds|。

设曲线的方程为y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。因为tanα = y’(设-ππ/2αππ/2)，故此，

a=arctany’

dαdx=(arctany′)′dαdx=(arctany′)′

dα=(arctany′)′dx=y′′1+y′2dxdα=(arctan⁡y′)′dx=y″1+y′2dx

或者

sec2αdα=y''dx，

dα=y′′sec2αdx=y′′1+tan2αdx=y′′1+y′2dxdα=y″sec2αdx=y″1+tan2αdx=y″1+y′2dx

3. 因为 ds=1+y′2−−−−−−√dxds=1+y′2dx(密切圆面积求导)，以此得到曲率公式k=f′′[1+(f′)2]32k=f″[1+(f′)2]32。

环带 的 面积 就是 dS

环带的面积 等于 环带 周长 X 环带宽度

环带周长 2πRsinθ

环带宽度 就是 dθ 角所对应的 弧长，即 Rdθ

故此， dS=2πRsinθ X Rdθ= 2πR²sinθdθ

ds表示弧微分 （ds）^2=(dx)^2+(dy)^2 ds dx dy 构成微分三角形，ds是斜边。 用弧的增量去乘一个函数的物理意义：这个函数代表线密度函数，故此，f(x)ds 的积分表示曲线形构件的质量，在数学上这个积分叫做：对弧长的曲线积分。

弧微分

可按 sqrt( dx^2+dy^2) 去记忆

在直角坐标下 ds=sqrt( 1+ y^2) dx

参数方程下 ds=sqrt(x^2+y^2)dt

弧微分

可按 sqrt( dx^2+dy^2) 去记忆

在直角坐标下 ds=sqrt( 1+ y^2) dx

参数方程下 ds=sqrt(x^2+y^2)dt弧微分

可按 sqrt( dx^2+dy^2) 去记忆

在直角坐标下 ds=sqrt( 1+ y^2) dx

参数方程下 ds=sqrt(x^2+y^2)dt

在学到一元函数的导数的应耗费时长，有一个内容是弧微分。设曲线方程是y=f(x)，定义弧长函数，按照导数的定义，可以得到弧长函数的导数ds/dx＝√[1+(y')^2]，故此，弧微分ds=√[1+(y')^2]dx=√[(dx)^2+(dy)^2]。按照曲线方程的不一样形式变化，例如曲线的参数方程是x=x(t),y=y(t)，则ds=√[(x'(t))^2+(y'(t))^2]dt。

同样地，对空间曲线，弧微分ds=√[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]。若曲线的参数方程是x=x(t),y=y(t),z=z(t)，则ds=√[(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2]dt

基本思路：把曲线投影到坐标面上，例如xoy面，投影曲线是平面上的曲线，假设是圆、椭圆、双曲线等等，完全就能够得出其参数方程，这样就得到了x,y的参数方程，回代，求z。

这道题：曲线在xoy面上的投影曲线是y=x是直线，故此，换个坐标面，例如zox面，消去y，得2x²+z²＝4，z²/4+x²/2=1，参数方程是z=2cost，x=√2sint，0≤t≤2π。代入y=x得y=√2sint。故此，空间曲线的参数方程是x=y＝√2sint，z=2cost，0≤t≤2π。