焦点弦公式大全，椭圆的垂直焦点弦公式

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。

双曲线：

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex。

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}。

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。

简介

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而因为椭圆或双曲线上的点与焦点当中的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线当中的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。

因为这个原因，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和

椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+K²)[(X1+X2)² - 4·X1·X2]得出弦长。设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式就更为简捷。推导设直线y=kx+b代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,则有：AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]=│x1-x2│ √ (1+k²)　同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

过椭圆焦点的弦长公式：|AF2|/|AH|=e|AF2|。椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数当中的关系。法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。因为韦达早发现代数方程的根与系数当中有这样的关系，大家把这个关系称为韦达定理。

公式：

d

=

√(1+k^2)|x1-x2|

=

√(1+k^2)[(x1+x2)^2

-

4x1x2]

=

√(1+1/k^2)|y1-y2|

=

√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2

-

4y1y2]

释义：

有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2

-

4x1x2]得出弦长，这样的整体代换，设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

另外：

此公式适用于全部圆锥曲线

涵盖

圆

椭圆

双曲线和抛物线

什么是二次曲线的极线？

设S：Ax+2Bxy+Cy+2Dx+2Ey+F=0为常态二次曲线，P(x0,y0)为不在S上的点(有心二次曲线的中心也除外，下同)，我们把直线P：Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0叫做点P有关S的极线，点P则叫做直线P有关S的极点。

在这样的定义下，有心二次曲线的中心没有极线，并且

定理1

（配极理论的原则）.

若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P.

定理2

通过一点P而且，与一个常态二次曲线相切的直线它的切点在点P的极线上。

定理3

椭圆、双曲线、抛物线焦点的极线是对应的准线。

定理4

假设椭圆、双曲线、抛物线的两条切线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点。

这是因为，焦点的极线是对应准线（定理3），又交点在准线上，准线上的点的极线就必过焦点（定理1），而定理2又告诉我们这条过焦点的极线恰好经过两切点。

因为在射影平面内，圆的焦点是圆心，准线是无穷远直线，故定理4又可推广为：

定理5

假设常态二次曲线的两条切线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点。

（非常：假设圆的两条切线平行，则切点弦是圆的直径）。

不言而喻，更大多数情况下还有

定理6

(1)点E是常态二次曲线内部一点，但不是有心二次曲线的中心，假设该曲线的两条切线的交点在点E的极线上，则过切点的直线必过点E.

(2)假设有心二次曲线的两条切线平行，则过切点的直线必过中心。

椭圆的焦点弦长的大值为长轴，则为2a,

椭圆的焦点弦长的小值为经过焦点且垂直于焦距所在轴的弦，

若焦距在X轴，MN是垂直焦距的弦，M（c,y0),

c^2/a^2+y0^2/b^2=1,

y0^2/b^2=(a^2-c^2)/a^2=b^2/a^2,

y0=±b^2/a,

∴小焦点弦长为2b^2/a.

椭圆的焦点弦长公式是：L=2a±2ex。焦点弦，A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长 。

设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

椭圆焦点应用：

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面都做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线都反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这样的镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

有关信息：

在数学中，椭圆是紧跟两个焦点的平面中的曲线，让针对曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因为这个原因，它是圆的概括，其是具有两个焦点在一样位置处的特殊类型的椭圆。

椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，针对椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+K²)[(X1+X2)² - 4·X1·X2]得出弦长。设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式就更为简捷。推导设直线y=kx+b代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,则有：AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]=│x1-x2│ √ (1+k²)　同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+K²)[(X1+X2)² - 4·X1·X2]得出弦长。设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式就更为简捷。推导设直线y=kx+b代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,则有：AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]=│x1-x2│ √ (1+k²)　同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，主要还是看焦点所在的坐标轴：

1）焦点在x轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1

(ab0)

2）焦点在y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1

(ab0)

这当中a0，b0。a、b中很大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当ab时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2

,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

又及：假设中心在原点，但焦点的位置不明确在x轴或y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以当成圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ

，

y=bsinθ

标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是

xx0/a^2+yy0/b^2=1

椭圆的面积公式

s=π(圆周率)×a×b(这当中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).

或s=π(圆周率)×a×b/4(这当中a,b分别是椭圆的长轴,短轴的长).

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(l)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

l=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)

[椭圆近似周长],

这当中a为椭圆长半轴,e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点p到某焦点距离为pf，到对应准线距离为pl，则

e=pf/pl

椭圆的准线方程

x=±a^2/c

椭圆的离心率公式

e=c/a

椭圆的焦准距

：椭圆的焦点与其对应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/c)的距离,数值=b^2/c

椭圆焦半径公式

｜pf1｜=a+ex0

｜pf2｜=a-ex0

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点a,b当中的距离，数值=2b^2/a

点与椭圆位置关系

点m（x0，y0）

椭圆

x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内：

x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1

点在圆上：

x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外：

x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m （1）

x^2/a^2+y^2/b^2=1 （2）

由（1）（2）可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1

相切△=0

相离△＜0无交点

相交△＞0

可利用弦长公式：a(x1,y1)

b(x2,y2)

|ab|=d=√(1+k^2)|x1-x2|

=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|

=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2]

椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a



椭圆公式有|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，椭圆过右焦点的半径r=a-ex，过左焦点的半径r=a+ex，椭圆的标准方程是y^2/a^2+x^2/b^2=1。

椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a|F1F2|）。

椭圆的标准方程：焦点在x轴

x²／a²＋y²／b²＝1

焦点在y轴：y²／a²＋x²／b²＝1

椭圆的面积是πab

参数方程：x＝acosΘ y＝bsinΘ