三角函数半角公式的推导，半角公式如何推导

按照倍角公式得： coa2a=1-2sin²α，可得 cosa=1-2sin²(α/2)，可得 1-cosa=2sin²(α/2)，可得 sin²(α/2)=（1-cosa）/2，可得，sin((a/2)=根号（1-cosa）/2） cos²(α/2)=1-sin²(α/2) 故此，：cos²(α/2)=1-（1-cosa）/2=（1+cosa)/2 故此，:cos(a/2)=根号(1+cosa)/2 因为：tana=sina/cosa 故此，:tan(a/2)=sin(a/2)/cos(a/2) 故此，：tan(a/2)=根号（（1-cosa）/（1+cosa)) 半角公式是利用某个角（如∠A）的正弦值、余弦值、正切值，及其他三角函数值，来求其半角的正弦值，余弦值，正切值，及其他三角函数值的公式。

半角公式

　　sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 　　cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 　　tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 　　sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定） 　　cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定） 　　tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα）/（1+cosα）]^(1/2) 　　推导：tan（α/2）=sin（α/2） /cos（α/2）=[2sin（α/4）cos（α/4] /[2cos(α/4)^2 - 1]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

相对的倍角公式

正弦二倍角公式：

　　sin2α = 2cosαsinα

推导：

　　sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA

余弦二倍角公式：

　　余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价： 　　1.cos2α = 2(cosα)^2 1 　　2.cos2α = 1 2(sinα)^2 　　3.cos2α = (cosα)^2 (sinα)^2

推导：

　　cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1=1-2(sinA)^2

正切二倍角公式：

　　tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]

推导：

　　Cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=cos瞐-sin瞐

降幂公式(半角公式）：

　　cos^2A=[1+cos2A]/2 　　sin^2A=[1-cos2A]/2 　　tan^2A=[1-cos2A]/[1+cos2A]

变式：

　　sin2α=sin^2(α+π/4)-cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)-1=1-2cos^2(α+π/4)；　cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)

正切半角公式，又称万能公式，这一组公式有四个功能： 将角统一为； 将函数名称统一为； 任意实数都可以的形式表达，可用正切函数换元。

在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。 因为这个原因，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式求得的。而被称为万能公式的因素是利用的代换可以处理一部分相关三角函数的积分。参见三角换元法。

倍角公式的推导是利用基本的展开式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsinycos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny于是sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosxcos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=cos²x-sin²x=1-sin²x-sin²x=1-2sin²x=cos²x-(1-cos²x)=2cos²x-1tan2x=sin2x/cos2x=2sinxcosx/(cos²x-sin²x)=（分子分母同时除以cos²x）2tanx/(1-tan²x)至于半角公式，则是利用倍角公式来解方程。

cosx=cos(2(x/2))=1-2sin²(x/2)，因为这个原因sin(x/2)=±√((1-cosx)/2)。

cosx=cos(2(x/2))=2cos²(x/2)-1，因为这个原因cos(x/2)=±√((1+cosx)/2)。

tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=±√((1-cosx)/(1+cosx))。 因为半角公式带±，需额外确定其正负号，实质上中应用较少。

cos2a=1-2sin2a cosa=1-2sin2a/2 2sin2a/2=1-cosa sin2a/2=(1-cosa)/

2 sina/2=±√[(1-cosa)/2]

tan(α／2)=(1-cosα）/sinα＝sinα／(1+cosα）

半倍角公式

tan(α／2)=(1-cosα）/sinα＝sinα／(1+cosα）；

cot(α／2)=sinα／(1-cosα）=(1+cosα）/sinα；

sin^2(α／2)=(1-cos(α）)/2；cos^2(α／2)=(1+cos(α）)/2；

tan(α／2)=(1-cos(α）)/sin(α）=sin(α）/(1+cos(α）)。

半角公式

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

积化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]



和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

万能公式

sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}

cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}

tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)³；

cos3A = 4(cosA)³ -3cosA

tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)