一元三次求根通用公式，一元三次方程的求根公式

时间:2023-02-20来源:华宇考试网作者:消防工程师题库消防工程师课程试看

一元三次求根通用公式？

标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0），其解法有：意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法。

中文名

一元三次方程求根公式

方程

aX^3+bX^2+cX+d=0

未知数

系数

a，b，c

常数

一元三次方程的求根公式用一般的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方式只可以将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的解答公式的解法只可以用归纳思维得到，即按照一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如

x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是得出开立方里面的主要内容，其实就是常说的用p和q表示A和B。方式请看下方具体内容：

（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立才可以以得到

（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

（3）因为x=A^(1/3)+B^(1/3)，故此，（2）可化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得

（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，就可以清楚的知道

（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得

（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3

（7）这样实际上就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以当成是一元二次方程的两个根，而(6)则是有关形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a

(10)因为型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

可化为

(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得

(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)

B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)

(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)

式

(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要得出了这当中一个根，另两个根就容易得出了

三次方程的求根公式？

详细算法请看下方具体内容：

1、ax^3+bx^2+cx+d的标准型。

2、化成x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0。

3、可以写成x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0。

4、这当中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a。

5、令y=x-a1/3。

6、则y^3+px+q=0。

7、这当中p=-(a1^2/3)+a2，q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3。

扩展资料：

三次方程的其他解法：

1、因式分解法

因式分解法不是对全部的三次方程都适用，只对一部分三次方程适用．针对大多数的三次方程，唯有先得出它的根，才可以作因式分解．因式分解的解法很简单方便，直接把三次方程降次．比如：解方程x3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1。

2、另一种换元法

针对大多数情况下形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x3+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z代入并化简，得：z-p/27z+q=0。再令z=w代入，得：w+p/27w+q=0．这其实是有关w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x。

三次方程形式为：ax3+bx2+cx+d=0。

标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0）

设方程为

一元三次方程大多数情况下形式为

是属于一个域的数字，一般这个域为R或C。

则有

X1·X2·X3=-d/a；

X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；

X1+X2+X3=-b/a。

三次方程形式为:

axsup3/sup+bxsup2/sup+cx+d=0。

三次方程法？

1、因式分解法

　　因式分解法不是对全部的三次方程都适用，只对一部分简单的三次方程适用.针对大多数的三次方程，唯有先得出它的根，才可以作因式分解。对一部分简单的三次方程能用因式分解解答的，当然用因式分解法解答很方便，直接把三次方程降次。

　　比如：解方程x^3-x=0

　　对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

　　一种换元法

　　针对大多数情况下形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。

　　令x=z-p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得：w^2-p/27w+q=0.这其实是有关w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。

　　2、卡尔丹公式法

　　特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。

　　判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。

　　卡尔丹公式

　　X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；

　　X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；

　　X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，

　　这当中ω=(-1+i3^(1/2))/2；

　　Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。

　　标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，(a，b，c，d∈R，且a≠0)。

　　令X=Y—b/(3a)代入上式。

　　可化为合适卡尔丹公式直接解答的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。

多次方程式的解法？

解多次方程式可以用消元法，先提取共同的因数，然后进行化简消元，比如下图：

一元二次方程可以使用直接开方式,公式法,配方式,因式分解法（直接开方式与因式分解法后面特殊的方程才适用,配方式与公式法合适都一元二次方程）

多元二次方程只在一元二次方程的基础上加上消元的思想就可以,详细的消元方式可以采取代入消元法和加减消元法一元三次方程可以代入卡尔丹诺公式来解多元三次方程只在一元三次方程的基础上加上消元的思想就可以,详细的消元方式可以采取代入消元法和加减消元法一元四次方程可以使用费拉里解法来解,也可使用置换群解法来解,置换群解法的详细解法请看下方具体内容：多元四次方程只在一元四次方程的基础上加上消元的思想就可以,详细的消元方式可以采取代入消元法和加减消元法。

三次函数解的和？

零点求法。

求函数的零点可用盛金公式、盛金判别法、或传统解法。

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有对应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺少直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的大多数情况下式新求根公式，并建立了新判别法。

三次函数的求跟公式

1.【盛金公式】

一元三次方程aX3＋bX2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：

A=b2－3ac；

B=bc－9ad；

C=c2－3bd，

总判别式：Δ=B2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式（1）：

X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B2－4AC0时，盛金公式（2）：

X1=(－b－(Y11/3＋Y21/3))/(3a)；

X2，3=(－2b＋Y11/3＋Y21/3±31/2 (Y11/3－Y21/3)i)/(6a)；

这当中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式（3）：

X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，

这当中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B2－4AC0时，盛金公式（4）：

X1= (－b－2A1/2cos(θ/3) )/(3a)；

X2，3= (－b＋A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)；

这当中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A0，－1T1)。

2.【盛金判别法】

（1）：当A=B=0时，方程有一个三重实根；

（2）：当Δ=B2－4AC0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

（3）：当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，这当中有一个两重根；

（4）：当Δ=B2－4AC0时，方程有三个不相等的实根。

3.【盛金定理】

当b=0，c=0时，盛金公式（1）无意义；当A=0时，盛金公式（3）无意义；当A≤0时，盛金公式（4）无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式（4）无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式（1）是不是成立？盛金公式（3）与盛金公式（4）是不是存在A≤0的值？盛金公式（4）是不是存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出请看下方具体内容回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则理所当然有c=d=0（这个时候，方程有一个三重实根0，盛金公式（1）仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则理所当然有c≠0（这个时候,适用盛金公式（1）解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则理所当然有C=0（这个时候,适用盛金公式（1）解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则理所当然有Δ＞0（这个时候，适用盛金公式（2）解题）。

盛金定理5：当A＜0时，则理所当然有Δ＞0（这个时候，适用盛金公式（2）解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则理所当然有A=0（这个时候，适用盛金公式（1）解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式（3）一定不存在A≤0的值（这个时候，适用盛金公式（3）解题）。

盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式（4）一定不存在A≤0的值。（这个时候，适用盛金公式（4）解题）。

盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式（4）一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T产生的值理所当然是-1＜T＜1。

明显，当A≤0时，都拥有对应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之未必成立。如：当Δ＞0时，未必有A＜0。

盛金定理表达：盛金公式自始至终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观解答。

当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率非常高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd是简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B2－4AC也是简明的式子（是很美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式一样；盛金公式（2）中的式子(－B±(B2－4AC)1/2)/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式反映了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

4.【传统解法】

除开这点一元三次方程的求根公式用一般的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方式只可以将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的解答公式的解法只可以用归纳思维得到，即按照一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是得出开立方里面的主要内容，其实就是常说的用p和q表示A和B。方式请看下方具体内容：