分块行列式的计算公式，分块矩阵次对角线行列式

化简成上三角或者下三角型分块行列式，然后上三角直接把对角线行列式相乘，下三角把对角线相乘后乘以-1的阶数相乘次幂

分块矩阵行列式这个计算公式可以请看下方具体内容证明:

1、行列式的Laplace定理：设D是n阶行列式，在D中选定k行，1=k=n-1，由这k行元素组成的我们全体k阶子式记为M1，M2，......，Mt，且Mi的代数余子式为Ai，1=i=t。

2、则：D = M1*A1+M2*A2+......+Mt*At。针对矩阵P=[A C；0 B]，A是s阶方阵，选定P的前s行，这s行元素组成的我们全体s阶子式中不为0的就是det(A)。

3、因为这个原因P的行列式就是det(A)乘以A的代数余子式，其代数余子式就是det(B)。故此，有： det(P) = det(A)*det(B).

分块矩阵行列式这个计算公式可以请看下方具体内容证明:

1、行列式的Laplace定理：设D是n阶行列式，在D中选定k行，1=k=n-1，由这k行元素组成的我们全体k阶子式记为M1，M2，......，Mt，且Mi的代数余子式为Ai，1=i=t。

2、则：D = M1*A1+M2*A2+......+Mt*At。针对矩阵P=[A C；0 B]，A是s阶方阵，选定P的前s行，这s行元素组成的我们全体s阶子式中不为0的就是det(A)。

3、因为这个原因P的行列式就是det(A)乘以A的代数余子式，其代数余子式就是det(B)。故此，有： det(P) = det(A)*det(B).

行列式分块计算方式有两种方式：

第一是按任意一行或任意一列展开：

1、任意一行或任意一列的全部元素乘以，删除该元素所在的行和列后的剩下行列式；

2、将它们都加起来；

3、在加的途中是代数式相加，并不是算术式相加，因为这个原因有正负号产生；

4、从左上角，到右下角，“+”、“-”交叉替换产生。

上面的展开，要一直重复进行，至少到3*3产生。

5、将行列式化成三角式，不管上三角，或下三角式，后的答案都是等于三角式的对角线上的元素的乘积。

当一个行列式较复杂。或者分块后出现特殊的例如O,E，上下三角行子列式等等之类的。建议用分块法

在存在同样式的情况下可以分块。

只是数字的两行两列行列式 a b c d 当然就等于ab -cd 而假设是分块行列式 A B C D，不可以直接得到行列式值 唯有某块行列式完全为零元素，才可以得到 A O B C 行列式值=|A| |C|

几种常见的方式:

1.某一行(列)尽可能多消零，然后某行某列展开；

2.每一行(列)的和相等，加到第一行(列)，提取公因子，消零，展开；

3.找递推关系，D4=f(D3)；

4.范德蒙行列式，直接使用公式；

5.利用行列式三种初等变化变成上(下)三角行列式；

6.利用分块矩阵公式计算分块行列式。

7.计算矩阵的全部特点值，行列式=特点值之积

求行列式和逆，于是伴随矩阵=行列式*逆矩阵。

分块矩阵的伴随矩阵

伴随矩阵公式：AA*=|A|E。在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。假设二维矩阵可逆，既然如此那，它的逆矩阵和它的伴随矩阵当中只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。

矩阵的秩与行列式的关系：

1、行列式为零算是方阵不满秩；

2、矩阵中非0子式的高阶数就是矩阵的秩；

3、超越矩阵的秩的任意阶方阵行列式必为0。

矩阵A的k阶子式：也就是在m×n矩阵A中，任取k行k列( k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所身处的位置次序而得的k阶行列式。先在矩阵中的m行中任选k行，得到组合；再在矩阵中的n列任选k列，得到组合。将二者相乘，便是矩阵A的k阶子式计算公式。

目前我们完全就能够定义矩阵的秩：设在m×n矩阵A中有不为零的r阶子式D，且全部r+1阶子式（假设存在，）都是零，既然如此那，D称为矩阵A的高阶非零子式，阶数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。非常地规定了零矩阵的秩等于0。

举个例子，我们先假定一个3阶矩阵S，由定义可得S不可能再有大于三阶的子阵，既然如此那，我们清楚S的三阶子阵唯有一个|S|，若计算出|S|≠0，既然如此那，S的秩就为3，记做R(S)=3；若是|S|=0，

扩展资料

1、矩阵中的任意一个r阶子式不为0，且任意的r+1阶子式为0，则阶数r就叫作该矩阵的秩。就是对一个矩阵，存在某个r阶行列式，值不为0，这个r阶行列式就是对一个矩阵你画r条横线，r条竖线，这个横竖线交叉的元素构成了一个新的数表，这个数表的行列式就叫作这个矩阵的r阶子式。

2、假设我们把矩阵进行初等行变换，将矩阵变换为一个行阶梯形矩阵后，既然如此那，行阶梯形矩阵的非0行就是这个矩阵的秩。这是通过运算的的视角来给出的矩阵的秩的定义，对矩阵进行初等行变换后得到的行阶梯形矩阵的非0行的个数。

3、从线性方程组的的视角来给出的，我们可以把秩理解为一种管束，因为方程我们完全就能够理解为管束，当我们把矩阵看成齐次线性方程组的系数时，矩阵的秩就是这个方程组里真正存在的方程的个数。

4、秩就是向量组中独立的向量的个数，实际上和上面说的方程组的的视角是差很少的