三维欧几里得空间，误差计算公式

欧几里得空间,简称欧氏空间,也可称为平直空间,在数学中是对欧几里得所研究的二维和三维空间的大多数情况下化?这个大多数情况下化把欧几里得针对距离还有有关的概念长度和的视角,转换成任意数维的坐标系?当一个线性空间定义了内积运算后面它就成为了欧几里得空间,欧几里得空间是无穷大的?

均方根误差的公式：S={[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/N}^0.5。

此公式中的X其实就是常说的这里说的的平均数应改成x1,x2（即真实值）。均方根误差算的是观测值与其真值，或者观测值与其模拟值当中的偏差，而不是观测值与其平均值当中的偏差。

计算方式是先平方、再平均、然后开方。例如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号，假设按平均值计速度均方根误差与高度的关系速度均方根误差与高度的关系(5张)算，它的电压唯有50V，而按均方根值计算则有70.71V。

扩展资料

均方根误差公式的作用

1、在气象学上，可用来评估一个数值模型可以多好的预测大气层的行为。

2、在生物资讯学中，均方根差被用来量测重叠蛋白质（superimposed proteins）分子间的距离。

3、在结构药物设计中，均方根差被用来测量配体（ligand）的晶格构造还有对接预测（docking prediction）。

4、在经济学中，均方根差被用来认为一个模型是不是满足经济指标。部分专家曾提出均方根差比相对绝对误差（relative absolute error）来的不可靠。

均方误差计算公式：S=[(x1-x)^2+(x2-x)^2。均方误差（mean-squareerror，MSE）是反映估计量与被估计量当中差异程度的一种度量。设t是按照子样确定的整体参数θ的一个估计量，(θ-t)2的数学希望，称为估计量t的均方误差。

度量（metric），亦称距离函数，数学概念是度量空间中满足特定条件的特殊函数，大多数情况下用d表示。度量空间也叫做距离空间是一类特殊的拓扑空间。弗雷歇（Fréchet，M.R.）将欧几里得空间的距离概念抽象化，于1906年定义了度量空间。

k值要素（Heat transfer coefficient）指的是总传热系数。国家现行标准规范统一定名为传热系数。传热系数K值是指在稳定传热条件下，围护结构两侧空气温差为1度（K或℃），单位时间通过单位面积传递的热量，单位是瓦/（平方米·度）（W/㎡·K，这个方向K可用℃代替），反映了传热过程的强弱。

三个基本要素：k 值选择，距离度量，分类决策规则。

原理：给定一个训练集，针对新输入的实例，在训练集中找到与其相似的 k 个实例，这 k 个实例的多数属于某一类，就将该实例归属到这种类型。

输入：训练数据集T={(x1,y1),(x2,y2),...,(x3,y3)}T={(x1,y1),(x2,y2),...,(x3,y3)}

这当中，xi∈X⊆Rnxi∈X⊆Rn为实例的特点向量，yi∈Y={c1,c2,...,ck}yi∈Y={c1,c2,...,ck}为实例的类别，i=1,2,3,...,Ni=1,2,3,...,N；实例特点向量xx；

输出：实例xx所属的类yy。

(1) 在训练集找出与xx相似的 k 个点，涵盖这 k 个点的xx领域记作Nk(x)Nk(x)；

(2) 在Nk(x)Nk(x)中按照分类决策规则（如多数表决）决定xx的类别yy：

​ y=argmaxcj∑xi∈Nk(x)I(yi=cj),y=argmaxcj∑xi∈Nk(x)I(yi=cj),i=1,2,...,N；j=1,2,...,Ki=1,2,...,N；j=1,2,...,K

​ II为指示函数，即当yi=cjyi=cj时II为1，不然为0。

我们清楚，k-近邻算法有三个核心要素：k值的选取、邻居距离的度量和分类决策的制订。下面分别对它们进行简单讲解。

3.4.1 k值的选取

k近邻算法优点很明显，简单易用，可解释性强，但也有其不够之处。比如，“多数表决”会在类别分布偏斜时浮现缺陷。其实就是常说的说，k值的选取很重要，产生频率有点多的样本将会主要测试点的预测结果。

k值的选取，对k-近邻算法的分类性能有很大影响。假设k值选取较小，基本上等同于利用较小邻域的训练实例去预测，“学习”而得的近似误差较小，但预测的结果对训练样例很敏感。假设这个近邻恰好就是噪声，既然如此那，预测就可以出错。其实就是常说的说，k值较小，分类算法的健壮性较差。

如果k值很大，则基本上等同于在很大邻域中训练实例进行预测，它的分类错误率的确带来一定下降，即学习的估计误差带来一定降低。但随着k值的增大，分类错误率又会很快回升。这是因为，k值增大带来的健壮性，很快就可以被多出来的邻居“裹挟而来”的噪声点所抑制，其实就是常说的说，学习的近似误差会增大。

换句话说，针对k值的选取，过犹不及。一般，大家采用交叉验证（Cross Validation，简称CV）[1]的方法来选取优的k值。即针对每一个k值（k=1，2，3，…），都做若干次交叉验证，然后计算出它们各自的平均误差，后择其小者定之。

3.4.2　邻居距离的度量

不量化，无以度量远近。

k-近邻算法要计算“远亲近邻”，就要求样本的全部特点都可以做到可比较的量化。假设样本数据的某些特点是非数值类型的，那也为了办法故将他量化。例如颜色，不一样的颜色（如红、绿、蓝）就是非数值类型的，它们当中好像没啥距离可言。但假设将颜色（这样的非数值类型）转换为灰度值（数值类型：0~255），既然如此那，完全就能够计算不一样颜色当中的距离（或说差异度）。

除开这点不一样样本可能有多个特点，不一样特点亦有不一样的定义域和取值范围，它们对距离计算的影响可谓大相径庭。例如，针对颜色来说，245和255当中相差10。但针对天气的温度，37°C和27°C当中也相差10。这两个距离都是10，但相差的幅度却大不一样。这是因为，颜色的值域是0~255，而一般气温的年平均值在-40°C~40°C，这样，前者的差距幅度在10/256=3.9%，而后者的差距幅度是10/80=12.5%。因为这个原因，为了公平起见，样本的不一样特点需做归一化（Normalization）处理，即把特点值映射到[0,1]范围之内处理。

归一化机制有不少，简单的方式莫过于min-max缩放，其过程是这样的：针对给定的特点，第一找到它的大值（MAX）和小值（MIN），然后针对某个特点值x，它的归一化值

在特点空间上，某两个点当中的距离也是它们相似度的反映。距离计算的方法不一样，也会显著影响谁是它的“近邻”，以此也会显著影响分类结果。

样本的特点向量，  为类别标签。针对一个新样本  ，它在训练集合中的近邻居标记为  ，可用公式（3-4）来选取它的近邻居：

新样本  和训练集中的样本  当中的距离。于是，新样本的类别就被预测为距离它近的k个邻居的标签，记作  。

很明显是如何度量任意两个样本当中的距离。针对m维样本xi和样本xj当中的距离Lp，一般可以用欧几里德距离（Euclidean Distance，简称欧氏距离）表示：

当m = 2，针对二维平面两点  与  间的欧氏距离可表示为：

衡量两个向量的距离不少种标准，除了欧几里得距离之外，还有绝对值距离或称曼哈顿距离（Manhattan Distance，简称曼式距离）

这当中常见的相似度算法有以下四种：

1. 欧几里得距离

2. 皮尔逊有关系数

3. 余弦相似度

余弦距离，也称为余弦相似度是用向量空间中两个向量夹角的余弦值作为衡量两个个体间差异的大小的度量。

4. Tanimoto系数（广义Jaccard相似系数）

定义：广义Jaccard相似度，元素的取值可以是实数。又叫作谷本系数

向量间的距离公式是d=√[(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2]，在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）唯有大小，没有方向。 向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），表达时在字母顶上加一小箭头“→”。

假设给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也可以把向量以数对形式表示，比如xOy平面中(2，3)是一向量。

设n为平面α的法向量,A为面α内任意一点.点到面距离为d ☆ d=|[AP(向量)·n/（除以）|n|]|

两点当中的距离公式为 d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。

两点间距离公式叙述了点和点当中距离的关系。两点的坐标是（x1,y1)和（x2,y2)，则两点当中的距离公式为d=√［（x1-x2)²+(y1-y2)²]。

注意特例子：当x1=x2时，两点间距离为｜y1-y2|；当y1=y2时，两点间距离为｜x1-x2|。

数学中常见的距离

1、欧氏距离，也称欧几里得度量、欧几里得度量是一个一般采取的距离定义，它是在m维空间中两个点当中的真实距离。在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点当中的距离。

2、曼哈顿距离，出租车几何或曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。

3、在数学中，切比雪夫距离或是L∞度量是向量空间中的一种度量，二个点当中的距离定义是其各坐标数值差绝对值的大值。以数学的观点来看，切比雪夫距离是由完全一样范数（或称为上确界范数）所衍生的度量，也是超凸度量的一种

五维指的是能量无界限。据俄罗斯《宇宙信息分析高架网》报道：俄罗斯引力协会科学家在乌里扬诺夫斯克市举行的宇宙学研讨会上称，人类可以沿“黑洞”在时间机器上旅行。

六维:来自 2月2日的《物理评论快报》的一条消息称：威斯康星大学麦迪逊分校的一位物理学家从太空中找寻灵感，提出了这样的一个假设，在物理学“弦论”的基础下，人类的世界依然不会完整。除了三维空间和时间之外，还应该存在另外六个空间维度。这些“隐藏”的空间维度以非常微小的几何形状卷曲在我们宇宙的每一个点中。六维空间可以接纳任何可能的形状，而且，都与其自己的世界相完全一样，具有其自己的物理学规律。

七维:在数学中，一个n实数的序列可以被理解为n维空间中的一个位置。当n等于七时，全部这样的位置的集合被称为七维空间。一般这样的空间被研究为一个向量空间，而没有任何距离的概念。七维欧几里得空间是一个配备了一个欧几里得距离的七维空间，它由点积定义。

故此五维六维七维的区别:五维指的是能量无界限。据俄罗斯《宇宙信息分析高架网》报道：俄罗斯引力协会科学家在乌里扬诺夫斯克市举行的宇宙学研讨会上称，人类可以沿“黑洞”在时间机器上旅行。

六维:来自 2月2日的《物理评论快报》的一条消息称：威斯康星大学麦迪逊分校的一位物理学家从太空中找寻灵感，提出了这样的一个假设，在物理学“弦论”的基础下，人类的世界依然不会完整。除了三维空间和时间之外，还应该存在另外六个空间维度。这些“隐藏”的空间维度以非常微小的几何形状卷曲在我们宇宙的每一个点中。六维空间可以接纳任何可能的形状，而且，都与其自己的世界相完全一样，具有其自己的物理学规律。

七维:在数学中，一个n实数的序列可以被理解为n维空间中的一个位置。当n等于七时，全部这样的位置的集合被称为七维空间。一般这样的空间被研究为一个向量空间，而没有任何距离的概念。七维欧几里得空间是一个配备了一个欧几里得距离的七维空间，它由点积定义。