哈密顿算子积规则推导，一维泊松方程的公式?

1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米=1000000000立方毫米

泊松方程为△φ=f 在这里 △代表的是拉普拉斯算符(其实就是常说的哈密顿算符▽的平方)，而 f 和 φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。 当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子一般表示为， 因为这个原因泊松方程一般写成 或 在三维直角坐标系，可以写成 假设没有f， 这个方程就可以变成拉普拉斯方程△φ=0. 泊松方程可以用格林函数来解答；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。relaxation method，持续性回圈的代数法，就是一个例子。 数学上，泊松方程属于椭圆型方程（不含时线性方程）。 泊松第一在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，还有热场分布。该方程一般用格林函数法解答，也可分离变量法，特点线法解答。

泊松方程为△φ=f

在这里 △代表的是拉普拉斯算符(其实就是常说的哈密顿算符▽的平方)，而 f 和 φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。 当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子一般表示为，

拉普拉斯方程

因为这个原因泊松方程一般写成

或

泊松方程

在三维直角坐标系，可以写成

假设没有f， 这个方程就可以变成拉普拉斯方程△φ=0.

泊松方程可以用格林函数来解答；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation[1] 。目前有不少种数值解。像是松弛法，持续性回圈的代数法，就是一个例子。

数学上，泊松方程属于椭圆型方程（不含时线性方程）。

泊松第一在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，还有热场分布。该方程一般用格林函数法解答，也可分离变量法，特点线法解答。

静电场的泊松方程

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泊松方程是描述静电势函数V与其源（电荷）当中的关系的微分方程。

▽^2V=-ρ/ε

这当中，ρ为体电荷密度（ρ=▽·D，D为电位移矢量。），ε为介电常数绝对值εr*εo。

应耗费时长间演化算符 U(t)= exp(iħHt)可得含时间动量算符

P(t) = U(t)* P(0)U(t)。

再对时间微分，易得

-ih（d/dt)P(t) = P(t)H(P,X)-H(P,X)P(t)

= [P(t),H(P,X)]。

这是著名的海森堡运动方程。

经典力学包含两项一定不可以缺少的主要内容。一对共轭力学量(动量,位置)和哈密顿运动方程。比较来说，量子力学也有一对共轭力学量(含时间动量算符,含时间位置算符)和以哈密顿算符为基础的海森堡 运动方程。

从普朗克能量子(1900)到海森堡方程(1924),一步一步形成简明的系统：从紫外灾难诞生能量子；从干涉衍射情况到可能性波；从平均量引出不对易的力学算符；由哈密顿算符到薛定谔波动方程和海森堡运动方程。前后经过二十几年，量子力学渐渐地成长壮大。海森堡运动方程是量子力学到达成熟阶段的标志。

在量子力学薛定谔方程和海森堡方程的原始论文里，推导步骤都很复杂，包含非常多数理技术，初学者很难掌握并熟悉。一部分‘异常的观念’都曾导致各自不同的真伪难辨的争论，甚至目前还在继续争论。教科书一版再版，持续性修正改进，因而量子力学一步一步地达到系统化，变得容易理解了。固然文献非常的重要，教科书的奉献也不可谓不大。

海森堡绘景

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讲解

海森堡绘景是量子力学的一种表达。这表达的算符（可观察量和其它算符）相依于时间，而量子态则不相依于时间。海森堡绘景与薛定谔绘景有很明显的差异。薛定谔绘景表达的算符是常数，而量子态则随着时间演化。虽然有这些差异，两种绘景只是不一样于依赖时间的基底的改变。两种绘景的测量统计结果完全一样。这是肯定的。因为，它们全部在表达同样的物理情况。

海森堡绘景是矩阵力学在一个任意基底的表达。其哈密顿量未必是对角的。

数学细节

在量子力学里，海森堡绘景表达的量子态 |\\psi \☆ang \\,\\! 不相依于时间，可观察量 A\\,\\! 满足海森堡方程：

\\FRAC{d}{dt}A={i \\over \\hbar}[H,\\,A]+\\left(\\frac{\\partial A}{\\partial t}\☆ight)_\\mathrm{classical}\\,\\! ；

这当中，\\hbar\\,\\! 是约化普朗克常数，H\\,\\! 是哈密顿量，[H,\\,A]\\,\\! 是 H\\,\\! 与 A\\,\\! 的对易算符。在有部分方面，我们感觉海森堡绘景会比薛定谔绘景更自然，具有更多的有基础性。非常是在表达相对论时，海森堡绘景明显的表露出洛伦兹不变性。

更地，海森堡绘景表达的量子力学与经典力学的相似可以比较容易的观察到：将会针对易算符改成泊松括号，海森堡方程马上就变成了哈密顿力学里的运动方程。

史东-冯诺伊曼理论 (Stone-Von Neumann theorem) 证明海森堡绘景与薛定谔绘景是等价的。

向量微分算子▽的物理意义

哈密顿算子， 数学符号为▽,读作 Hamiltonian.“▽”具有“双重性格”，它不仅是一个矢量，又是一个微分算子（求导运算），故此，哈密顿算符兼具矢量和微分的性质。

梯度记做GRAD，就是沿着某方向的变化率，算子▽直接作用在函数上。

旋度记做ROT,是算子▽叉乘向量函数。意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，其实就是常说的封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫做无旋场，唯有这样的场才有势函数，其实就是常说的保守场。

写在函数符号前面的倒三角是哈密顿算子，又叫向量微分算子