无穷小量怎么判断，无穷小变化公式?

这里引用我在另一个相似问题的回答

定义：无穷小量

我们给出

定义：

阶数

等价无穷小。

阶无穷小

由定义简单推导可以得到，若 与 分别是m和n阶无穷小且 ，则 为m阶无穷小

以上是无穷小的阶数的定义，在实质上答题途中，可以按照等价无穷小还有Taylor公式来判断无穷小的阶数。但是，等价只可以用于无穷小量作为乘法的因子时

举个栗子：明显， 为0处的1阶无穷小； ，这当中 表示等价。于是 为0处的一阶无穷小。考虑另一个例子，，这时若进行等价得到 ，没有意义，也就不可以采取等价方式。这时可以考虑Taylor公式，也就是在0附近， ，这当中 表示比 更高阶的无穷小，故此，为2阶无穷小

在判断无穷小的途中，掌握并熟悉经常会用到的无穷小等价公式与经常会用到的Taylor公式是必要的，希望能有效的掌握并熟悉并熟练运用

等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另外一个方面来说，等价无穷小也可看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

扩展资料:

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1. 被代换的量，在取极限时极限值为0；

2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，未必能随意独自代换或分别代换。

（1）sinx~x

（2）tanx~x

（3）arcsinx~x

（4）arctanx~x

（5）1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1

（6）（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)

（7）（e^x）-1~x

（8）ln(1+x)~x

（9）(1+Bx)^a-1~aBx

（10）[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

（11）loga(1+x)~x/lna

（12）（1+x)^a-1~ax(a≠0)等价无穷小注意：

可以拆成两个极限分别求结果，然后在加起来，故此，基本上等同于独立求两个的极限，你们两者爱怎么用等价无穷小怎么用，但假设唯有一个有极限，或两个都没有。

用等价无穷小量的替换时，一定要要整体替换。用泰勒展开式，来对函数在一点附近的函数进行近似，近似式的阶数越高，

重要等价无穷小的公式：前提条件：当x→0时：

（1）sinx~

x（2）tanx~

x（3）arcsinx~

x（4）arctanx~

x（5）1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（6）（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（7）（e^x）-1~

x（8）ln(1+x)~x（9）(1+Bx)^a-1~aBx（10）[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x（11）loga(1+x)~x/lna（12）（1+x)^a-1~ax(a≠0)

无穷小量就是以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。比如，f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量，f(n)1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sin(x)是当x→0时的无穷小量。非常要指出的是，千万不要把很小的数与无穷小量混为一谈

无穷小量计算只要记住一点就好：

假设是在有lim 的方程中，可以都计为 0 不需要担心出错。

此外全部项。不管几次。都可以跟无穷小量里面的数相乘。然后得涵盖里面数的无穷小量。既然如此那，结果仍是无穷小量。

这里引用我在另一个相似问题的回答

定义：无穷小量。假设一个表达式 满足 ，我们称 为 处的无穷小量，简称无穷小。

我们给出定义：无穷小的阶数。设 和 为 处的无穷小。若 ，则称 为比 更高阶的无穷小；若 ，则称 为比 更低阶的无穷小；若 ，则称 为比 同阶无穷小；特殊地，若 ，则称 与 为等价无穷小。若 ，则称 为阶无穷小；（上面说的 为非零实数）

由定义简单推导可以得到，若 与 分别是m和n阶无穷小且 ，则 为m阶无穷小

以上是无穷小的阶数的定义，在实质上答题途中，可以按照等价无穷小还有Taylor公式来判断无穷小的阶数。但是，等价只可以用于无穷小量作为乘法的因子时

举个栗子：明显， 为0处的1阶无穷小； ，这当中 表示等价。于是 为0处的一阶无穷小。考虑另一个例子，，这时若进行等价得到 ，没有意义，也就不可以采取等价方式。这时可以考虑Taylor公式，也就是在0附近， ，这当中 表示比 更高阶的无穷小，故此，为2阶无穷小

在判断无穷小的途中，掌握并熟悉经常会用到的无穷小等价公式与经常会用到的Taylor公式是必要的，希望能有效的掌握并熟悉并熟练运用

按照极限的性质，假设f（x）和g（x）都拥有极限。既然如此那，lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）

lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）。按照这个性质，比较容易就证明这个出题。

1、必要性：假设lim（x→x0）f（x）=A，令a（x）=f（x）-A，则lim（x→x0）a（x）=lim（x→x0）（f（x）-A）=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）A=A-A=0，故此，a（x）是x→x0的无穷小。而f（x）=A+a（x）

2、充分性也差不多证明。假设f（x）=A+a（x），a（x）是x→x0的无穷小，则lim（x→x0）a（x）=0

故此，lim（x→x0）f（x）=lim（x→x0）（A+a（x）=lim（x→x0）A+lim（x→x0）a（x）=A+0=A。

当x→0，且x≠0，则 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx； x~ln(1+x)~(e^x-1)； (1-cosx)~x*x/2； [(1+x)^n-1]~nx； loga(1+x)~x/lna；a的x次方~xlna；(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）；注：^ 是乘方，~是等价于，

在和式中不可以使用等价无穷小代换。

整个和式xlne - x^2ln(1+1/x)是一个“∞-∞”的形式，故此，不可以独自计算任意一个极限。从整体上来看，xlne - x^2ln(1+1/x)＝x^2×[1/x - ln(1+1/x)]是“∞*0”的结构，把x^2放到分母上，为“0/0”型，可用洛必达法则（这里把1/x换元再求导会简单不少，另外用泰勒公式也可以计算）

当x→0，且x≠0，则 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx； x~ln(1+x)~(e^x-1)； (1-cosx)~x*x/2； [(1+x)^n-1]~nx； loga(1+x)~x/lna；a的x次方~xlna；(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）；注：^ 是乘方，~是等价于。

当x趋近于0时:e^x-1 ~ xln(x+1) ~ xsinx ~ xarcsinx ~ xtanx ~ xarctanx ~ x1-cosx ~ (x^2)/2tanx-sinx ~ (x^3)/2(1+bx)^a-1 ~ abx值得注意的是等价无穷小的替换大多数情况下用在乘除中，

大多数情况下不需要在加减运算的替换求极限时，使用等价无穷小的条件：1. 被代换的量，在取极限时极限值为0；

2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，未必能随意独自代换或分别代换。

常数与无穷小的乘积是无穷小

可以用定义来证明，也可用求极限的公式去证明，后者比较简单，用定义就要用那个任给一个正数，存在另一个正数，使|无穷小量-0|第一个正数，然后把无穷小量代成常数与无穷小的积，可以化出结果一样完全就能够了。用极限就利用常数的极限是本身，无穷小的极限是0，积的极限等于极限的积，结果还是0

0。一个常数乘以一个无穷小的数结果为一个无穷小的数，其实就是常说的约等于0。