常见的转动惯量公式推导，转轴转动惯量公式推导

针对一个点（零维）来说，转动惯量是MR^2,然后你可以得出一个圆环（一维）的，也是dM*r^2,r是这个圆环的半径，这里记得把M写成密度形式，dM=ρdr，dM就是圆环质量对它从0到r积分，可以求得一个圆盘（二维）的转动惯量，打不了数学符号了然后再把球（三维）看成一片片的圆盘，再积分完全就能够了。好像是2/5Mr^2重要的步骤：用密度表示，后再化回质量来

先说转动惯量的由来，先从动能说起各位考生都清楚动能E=（1/2）mv^2，而且，动能的实质上物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实质上能量，（P势能实质上意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实质上能量的大小）。

E=（1/2）mv^2 （v^2为v的2次方）

把v=wr代入上式 （w是角速度，r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为大量个质点，质点与运动整体的重心的距离为r，而再把不一样质点积分化得到实质上等效的r）

得到E=（1/2）m（wr）^2

因为某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，故此，把有关m、r的变量用一个变量K代替，K=mr^2

得到E=（1/2）Kw^2

K就是转动惯量，分析实质上情况中的作用基本上等同于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是大多数情况下尽量不变的量。

这样分析一个转动问题完全就能够用能量的的视角分析了，而没有必要拘泥于只从纯运动的视角分析转动问题。

设刚体中第i个质点的质量为△mi，该质点离轴的垂直距离为ri，则转动惯量为： J=∑ri2△mi, 即刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体各质点的质量与各自到转轴的距离平方的乘积之和。 刚体的质量可觉得是连续分布的，故此，上式可写为积分形式： J=∫r2dm， 积分式中dm是质元的质量，r是此质元到转轴的距离。

例如圆柱体的转动惯量实际上完全就能够当成是一个圆盘的转动惯量 在距离盘心r处取一宽为dr的圆环，它的质量dm=m/(pi*r^2)* 2pi*rdr 然后代入 J=∫r^2dm 从0到r积分，得到J=1/2mr^2

地球看做球体，可以直接用刚体转动惯量 球体的J=2/5mr² 假设你要考虑密度问题 可以讲利用球体转动惯量的 推导 。

即 当成大量薄球壳。在每一个固定的R上都拥有一个对应的密度函数 再进行积分也可得到

实心球转动惯量：2/5mr²圆盘转动惯量：

1/2mr²球壳转动惯量：

2/3mr²

圆环转动惯量推导：

在圆环内取一半径为 r，宽度 dr 的圆环，其质量为 dm = m/(π R2^2 - π R1^2) * 2 π r dr

对通过圆心垂直于圆平面轴的转动惯量为 dJ = dm r^2 = m/(π R2^2 - π R1^2) * 2 π r^3 dr

转动惯量为 J = ∫dJ

= ∫(R1→R2) m/(π R2^2 - π R1^2) * 2 π r^3 dr

= 1/2 m (R2^2 - R1^2)

转动惯量在旋转动力学中的角色基本上等同于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体针对旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量当中的关系。

扩展资料

其量值主要还是看物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不一样，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺还有人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

转动惯量只决计划于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。

转动惯量J=Σmiri2

薄圆环的转动惯量直接求：J=mR2

M = - m * g * l * Sin x.

　　这当中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。

　　我们期望得到摆角x的有关时间的函数，来描述单摆运动。由力矩与角加速度的关系不难得到

　　M = J * β。

　　这当中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''(摆角有关时间的2阶导数)是角加速度。

　　于是化简得到

　　x'' * l = - g * Sin x.

　　我们对上式一定程度上地选择比例系数，完全就能够把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程

　　x'' + Sin x = 0.

　　因为单摆的运动方程(微分方程)是

　　x'' + Sin x = 0…………(1)

　　而标准的简谐振动(如弹簧振子)则是

　　x'' + x = 0………………(2)