三容斥原理标准和非标准公式，三集合非标准型公式的推导方法

三集合容斥原理标准型：总个数-都没有满足的个数=A+B+C-AB-BC-AC+ABC。这当中A、B、C代表满足不一样条件的数量，AB、BC、AC代表分别满足这当中两个条件的数量，ABC代表三个条件都满足的数量。

三集合容斥原理非标准型：总个数-都没有满足的个数=A+B+C-只满足两个条件的数量-2×ABC。

我们已经介绍和学习了容斥原理的两个题型：两集合和三集合标准型，今天呢，我们来学习第三个题型：容斥原理之三集合非标准型公式。

三集合非标准型是指：把一个整体分成3个部分，且两两相交，已知中告知相交的两层的位置的数值还有三层部分的数值。如例题：某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参与长跑的有49人，参与跳远的有36人，参与短跑的有28人，只参与这当中两个项目标有13人，参与都项目标有9人。既然如此那，参与该次运动会的总人员数量为？

画图表示：

公式：A+B+C－（2）－2×（3）＝总数－都不

公式应用：

【例】某高校对一部分学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参与注册会计师考试的有63人，准备参与英语六级考试的有89人，准备参与计算机考(使用电脑作答)试的有47人，三种考试都准备参与的有24人，准备选择两种考试参与的有46人，不参与这当中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？

A.120 B.144

C.177 D.192

【剖析解读】设只参与了一种考试的学生有x人，则可得x＋24×3＋46×2＝63＋89＋47，解得x＝35，则至少参与一种考试的学生数为35＋46＋24＝105人，接受调查的学生人员数量为105＋15＝120人。选择A。

三集合容斥问题的核心公式请看下方具体内容：

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，针对以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

三集合标准型和三集合概念型都是容斥原理中的不一样的表现形式。

所给的数值明显不同：

1、标准型就是试题中明确会说A∩B，B∩C，A∩C分别有多少，A∩B∩C有多少。

2、概念型即为非标准型，没给出总数，只涉及A，B，C，满足两种情况，满足三种情况。

数值集合体明显不同：

1、标准型就是概念明显，集合体完全。

2、概念型即为非标准型，集合体不明确。

扩展资料：

在计数时，一定要注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，大家研究出一种新的计数方式，这样的方式的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。

三集合容斥公式：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C |

三集合非标准型公式是：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=总数-都不。三集合标准型是指把一个整体分成3个部分，且告知两两相交的地方，并有三者都满足的。容斥原理指把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。

容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两条件-2* A∩B∩C=总数-三条件都没有满足。

　　A+B+C=只满足一个条件+2*只满足两条件+3*满足三条件。

三集合容斥问题的核心公式请看下方具体内容：

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，针对以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。