高中数学数列裂项相消的常见公式有哪些,裂项公式是什么时候学的

高中数学数列裂项相消的常见公式有什么?
常见的有4类形式:
一、分母是两个等差数列之积
裂项原则:分母小的减去分母大的,再乘以分母之差的倒数。
二、分母是两个根号之和
裂项原则:分母有理化。
三、分母是两个等比数列之积
裂项原则:分母小的减去分母大的,后乘以分母之差的倒数。
四、分子是等比数列,分母是等差数列之积
裂项原则:见公式7
裂项相消的原则是角标完全一样 相邻能消。有关公式请看下方具体内容图:
裂项法表达式:1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]
扩展资料:
裂项公式是什么?
经常会用到的裂项公式有1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)、1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]、1/n(n+1(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]、1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)(5)n·n!=(n+1)!-n!。
基本裂项公式推导过程?
裂项相消法
把数列的每一项拆成两项之差,求和时有部分部分可以相互抵消,以此达到求和的目标。
2、常见的裂项公式:
(1)若{an}是等差数列,则
1anan+1=
1d·(1an−1an+1),
1an·an+2=
12d(1an−1an+2)。
(2)
1n(n+1)=1n−1n+1。
(3)
1n(n+k)=1k(1n−1n+k)。
(4)
1(2n−1)(2n+1)=
12(12n−1−12n+1)。
(5)
1n(n+1)(n+2)=
12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]。
(6)
1n+n+1=n+1−n。
(7)
1n+n+k=
1k(n+k−n)。
注:抵消后的项数不是说肯定只剩下第一项和后一项,也有一定概率剩下第一项和倒数第二项。通过裂项后,有的时候,候需调整前面的系数,使裂项前后保持相等。
二、裂项相消法的例题
等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则
∑nk=11Sk=____
A.
nn+1 B.
2nn+1
C.
3nn+1 D.
4nn+1
裂项公式推导过程?
推导请看下方具体内容所示:
这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用. 裂项法的本质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,促使其能消去一部分项,后达到求和的目标. 通项分解(裂项)如:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5) n·n!=(n+1)!-n!
例【成绩裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项)
则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
sn裂项求和公式?
【成绩裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解:an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](裂项)
则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)- [1/(n+1)](裂项求和)
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
三项乘积的裂项公式?
三项分母裂项公式是n/(n+1)(n+2(n+3)),裂项法是分解与组合思想在数列求和中的详细应用。是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,促使其能消去一部分项,后达到求和的目标。通项分解(裂项)倍数的关系。一般用于代数,成绩,有的时候,候也用于整数。
数列求和的经常会用到方式:
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(重要是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和:如an=2n+3n
2、错位相减法求和:如an=n·2^n
3、裂项法求和:如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和:如an= n
5、求数列的大、小项的方式:
(1) an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
(2) (an0) 如an=
(3) an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
数学裂项即把一项分为多项,方便计算。 如:6分之1-12分之1-20分之1 =2分之1-3分之1+3分之1-4分之1+4分之1-5分之1 =2分之1-5分之1
分母平方裂项拆分万能公式?
基本公式为: 经常会用到公式:
(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)
] (2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)
] (3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]} (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) (5) n·n!=(n+1)!-n! (6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)
] (7)1/(√n+√n+1)=√(n+1)-√n (8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n] 裂项法的本质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,促使其能消去一部分项,后达到求和的目标。 通项分解(裂项)倍数的关系。 举例子: 【成绩裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和. 解:an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](裂项) 则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)- [1/(n+1)](裂项求和) = 1-1/(n+1) = n/(n+1)
裂项公式怎样推导高中?
裂项法表达式:1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]。裂项相消公式有n·n!=(n+1)!-n!;1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]等。
裂项相消十个基本公式
裂项法求和公式
(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]
(2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5)n·n!=(n+1)!-n!
(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
(7)1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n
(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]
什么是裂项相消法
数列的裂项相消法,就是把通项拆分成“两项的差”的形式,让恰好在求和时可以“抵消”多数的项而剩下少数几项。
三大特点:
(1)分子都一样,简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的,但是,只要将x提取出来就可以转化为分子都是1的运算。
(2)分母上都是哪些自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上哪些因数间的差是一个定值。
(3)分母上哪些因数间的差是一个定值。
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目标”。

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