高中数学数列裂项相消的常见公式有哪些，裂项公式是什么时候学的

常见的有4类形式：

一、分母是两个等差数列之积

裂项原则：分母小的减去分母大的，再乘以分母之差的倒数。

二、分母是两个根号之和

裂项原则：分母有理化。

三、分母是两个等比数列之积

裂项原则：分母小的减去分母大的，后乘以分母之差的倒数。

四、分子是等比数列，分母是等差数列之积

裂项原则：见公式7

裂项相消的原则是角标完全一样 相邻能消。有关公式请看下方具体内容图：

裂项法表达式：1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]

扩展资料：

经常会用到的裂项公式有1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)、1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]、1/n(n+1(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]、1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)(5)n·n!=(n+1)!-n!。

裂项相消法

把数列的每一项拆成两项之差，求和时有部分部分可以相互抵消，以此达到求和的目标。

2、常见的裂项公式：

（1）若{an}是等差数列，则

1anan+1=

1d·(1an−1an+1)，

1an·an+2=

12d(1an−1an+2)。

（2）

1n(n+1)=1n−1n+1。

（3）

1n(n+k)=1k(1n−1n+k)。

（4）

1(2n−1)(2n+1)=

12(12n−1−12n+1)。

（5）

1n(n+1)(n+2)=

12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]。

（6）

1n+n+1=n+1−n。

（7）

1n+n+k=

1k(n+k−n)。

注：抵消后的项数不是说肯定只剩下第一项和后一项，也有一定概率剩下第一项和倒数第二项。通过裂项后，有的时候，候需调整前面的系数，使裂项前后保持相等。

二、裂项相消法的例题

等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则

∑nk=11Sk=____

A．

nn+1 B．

2nn+1

C．

3nn+1 D．

4nn+1

推导请看下方具体内容所示：

这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用. 裂项法的本质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,促使其能消去一部分项,后达到求和的目标. 通项分解（裂项）如：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

例【成绩裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

＝ 1-1/(n+1)

＝ n/(n+1)

【成绩裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）

则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

三项分母裂项公式是n/(n+1)(n+2(n+3))，裂项法是分解与组合思想在数列求和中的详细应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，促使其能消去一部分项，后达到求和的目标。通项分解（裂项）倍数的关系。一般用于代数，成绩，有的时候，候也用于整数。

数列求和的经常会用到方式：

公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(重要是找数列的通项结构)

1、分组法求数列的和：如an=2n+3n

2、错位相减法求和：如an=n·2^n

3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求数列的大、小项的方式：

（1） an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

（2） (an0) 如an=

（3） an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

数学裂项即把一项分为多项，方便计算。 如：6分之1-12分之1-20分之1 =2分之1-3分之1+3分之1-4分之1+4分之1-5分之1 =2分之1-5分之1

基本公式为： 经常会用到公式：

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)

] （2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)

] （3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]} （4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) （5） n·n!=(n+1)!-n! （6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)

] （7）1/（√n+√n+1）=√（n+1）-√n （8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n] 裂项法的本质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，促使其能消去一部分项，后达到求和的目标。 通项分解（裂项）倍数的关系。 举例子： 【成绩裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和. 解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项） 则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和） = 1-1/(n+1) = n/(n+1)

裂项法表达式：1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]。裂项相消公式有n·n!=(n+1)!-n!；1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]等。

裂项相消十个基本公式

裂项法求和公式

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

什么是裂项相消法

数列的裂项相消法，就是把通项拆分成“两项的差”的形式，让恰好在求和时可以“抵消”多数的项而剩下少数几项。

三大特点：

（1）分子都一样，简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是，只要将x提取出来就可以转化为分子都是1的运算。

（2）分母上都是哪些自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上哪些因数间的差是一个定值。

（3）分母上哪些因数间的差是一个定值。

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目标”。