任意一个多面体是否满足欧拉公式，欧拉不等式R≥2r

唯有凸多面体才满足欧拉公式。欧拉公式内容是，任意一个凸多面体的顶点数十面数一棱数＝2。这里2又叫欧拉示数。什么是凸多面体？

把多面体平面延伸，多面体都在平面同侧。

如一个正方体中间挖去一个正四棱柱，这组合体不是凸多面体。这个时候组合体顶点数16，面数12，棱数24。没有满足欧拉公式。

拓扑学里的欧拉公式：

V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数.

假设P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上）,既然如此那，X(P)=2,假设P同胚于一个接有h个环柄的球面,既然如此那，X(P)=2-2h.

X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是不管再怎么经过拓扑变形也

不会改变的量,是拓扑学研究的范围.

在多面体中地运用:

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间相关系

V+F-E=2

这个公式叫欧拉公式.公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律.

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欧拉定理：e^(ix)=cosx+isinx。这当中：e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：

e^(-ix)=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)，cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2。

扩展资料：

欧拉公式的意义：

1、数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数当中特有的规律

2、思想方式创新：定理发现证明途中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方式上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

3、引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量相关的量出现了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不可以撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这样的变形途中的不变的性质。

4、提出多面体分类方式：

在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。

除简单多面体外，还有非简单多面体。比如，将长方体挖去一个洞，连结底面对应顶点得到的多面体。它的表面不可以经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。