8个常见的泰勒公式，泰勒定理是什么时候学的

1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|1)

3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞x∞)

4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞x∞)

5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|1)

6、arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|1)

7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)

8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……

8个经常会用到泰勒公式:

sin ⁡ x = x − 1 6 x 3 + O ( x 3 ) arcsin ⁡ x = x + 1 6 x 3 + O ( x 3 ) \\sin x=x-\\frac{1}{6} x^{3}+O\\left(x^{3}\☆ight) \\quad \\arcsin x=x+\\frac{1}{6} x^{3}+O\\left(x^{3}\☆ight)sinx=x−

6

1

​

x

3

+O(x

3

)arcsinx=x+

6

1

​

x

3

+O(x

3

)

cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + x 4 4 ! + 0 ( x 4 ) ln ⁡ ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + O ( x 3 ) \\cos x=1-\\frac{1}{2} x^{2}+\\frac{x^{4}}{4 !}+0\\left(x^{4}\☆ight) \\quad \\ln (1+x)=x-\\frac{1}{2} x^{2}+\\frac{1}{3} x^{3}+O(x^{3})cosx=1−

2

1

​

x

2

+

4!

x

4

​

+0(x

4

)ln(1+x)=x−

2

1

​

x

2

+

3

1

​

x

3

+O(x

3

)

tan ⁡ x = x + 1 3 x 3 + O ( x 3 ) arctan ⁡ x = x − 1 3 x 3 + O ( x 3 ) \an x=x+\\frac{1}{3} x^{3}+O( x^{3}) \\quad \\arctan x=x-\\frac{1}{3} x^{3}+O\\left(x^{3}\☆ight)tanx=x+

3

1

​

x

3

+O(x

3

)arctanx=x−

3

1

​

x

3

+O(x

3

)

e x = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 + 0 ( x 3 ) ( 1 + x ) a = 1 + a x + + a ( a − 1 ) 2 ! x 2 + O ( x 2 ) e^{x}=1+x+\\frac{1}{2} x^{2}+\\frac{1}{6} x^{3}+0\\left(x^{3}\☆ight) \\quad(1+x)^{a}=1+a x++\\frac{a(a-1)}{2 !} x^{2}+O\\left(x^{2}\☆ight)e

x

=1+x+

2

1

​

x

2

+

6

1

​

x

3

+0(x

3

)(1+x)

a

=1+ax++

2!

a(a−1)

​

x

2

+O(x

2

)

泰勒公式是等号而不是等价，这个问题就使全部函数转化为幂函数，在利用高阶无穷小被低阶吸收的原理，可以秒杀大多数极限题。

常见泰勒公式：ln(1+x)=x-x^2/2。泰勒公式，应用于数学、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

扩展资料

函数的定义一般分为传统定义和近代定义，函数的两个定义实质是一样的，只是叙述概念的出发点不一样，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发

函数的近代定义是给定一个数集A，假设这当中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x当中的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f

这当中核心是对应法则f，它是函数关系的实质特点。

泰勒公式（Taylor's formula）带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n) 　　泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x)在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关（x-x。)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x) 　这当中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1)，这里ξ在x和x。当中，该余项称为拉格朗日型的余项。（注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。） 　　使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。这当中o((x-x0)^n)表示n阶无穷小。Taylor公式典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等。

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年以前，先提出了带有余项的目前形式的泰勒定理。

希腊哲学家芝诺在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果的问题时，得出不可能的结论-芝诺悖论，这些悖论中著名的两个是“阿喀琉斯追乌龟”和“飞矢不动”。

后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，直到德谟克利特还有后来的阿基米德进行研究，此部分为数学内容才得到处理。阿基米德应用穷举法让一个无穷级数可以被一步一步的细分，得到了有限的结果。

14世纪，玛达瓦发现了一部分特殊函数，涵盖正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。

17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。直到1712年，英国牛顿学派优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方式，那就是为大家所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。

泰勒公式

泰勒公式得名于英国著名数学家布鲁克·泰勒（1685～1731），他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式。

泰勒公式是用一个函数在某点的信息来描述其附近取值的公式，它是用若干项连加来表示一个函数，这些东西项是由函数在某点的导数求得的。

泰勒展开式具有广泛的应用，它犹如一把倚天剑可以纵横挥洒，一剑封喉。

泰勒公式是用一个函数在某点的信息来描述其附近取值的公式，它是用若干项连加来表示一个函数，这些东西项是由函数在某点的导数求得的。

01 泰勒公式形式：

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用有关（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方式。

反正切一起记

余弦是正弦的导数

指数是正弦余弦绝对值相加

8是二项式

对数是8的-1次的积分

泰勒公式记忆口诀：“e很规矩，拆为正余，加减交织，正偶余奇。n首无1，叹号拿去，加减交织，其余同e”。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年以前，先提出了带有余项的目前形式的泰勒定理

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关（x-x。)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x。)+f'(x。 )(x-x。)+f''(x。)/2!?(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!?(x-x。 )^3+……+f(n)(x。)/n!?(x-x。)^n+Rn这当中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x。