自然数求和公式口诀，连续几个自然数相加的和等于1

连续自然数求和公式是：

1、从1到n的自然数之和的公式：Sn=n*（n+1）/2；

2、从m到n的自然数之和的公式：Smn=（n+m）（n-m+1）/2。

自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0启动，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等

连续哪些自然数相加的和我们分成两种情况来计算。设有N个连续自然数，A为这N个连续自然数的小数，这一列连续自然数的大数就是A十N一1，当N为偶数时，这哪些连续自然数相加的和就等于(A十A十N一1)ⅹN/2即(2A十N一1)xN/2；当N为奇数时，这哪些连续自然数相加的和就等于(2A十N一1)X(N一1)/2十A十(N一1)/2

1到n累加求和S的公式是

S＝n（n＋1）／2。

推导请看下方具体内容：

设S＝1＋2＋3＋……＋（n一2）＋（n一1）＋n。（1式）

把这个数列的和倒过来写：S＝n＋（n一1）＋（n一2）＋……＋3＋2＋1。（2式）

（1式）＋（2式），得

2S＝（n＋1）＋（n＋1）＋（n＋1）＋……＋（n＋1）＋（n＋1）＋（n＋1），一共n个（n＋1）相加。

1到n个连续自然数相加，求和的公式:1+2+3+4+5+……+（n－2）＋（n－1）+n

=（1+n）×n÷2

＝1/2n（n＋1）

思考：把1到n这n个数进行分组相加（1+n），（2+n－1=n+1），（3+n－2=n＋1），（4+n－3＝n＋1），（5+n－4＝n＋1）……，可以分成n÷2组，故此，1到n个连续自然数相加的和里有（n÷2）个（n＋1）。

即1+2+3+4+5+6+……+n

=（1+n）×（n÷2）

＝1/2n×（n＋1）

因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

故此，

2^3=1^3+3*1^2+3*1+1

3^3=2^3+3*2^2+3*2+1

4^3=3^3+3*3^2+3*3+1

5^3=4^3+3*4^2+3*4+1

……

n^3=(n-1)^3+3*(n-1)^2+3*(n-1)+1

(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1

上面全部式子相加，并在两边同时减去一样的项：

(n+1)^3=1^3+3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n

[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]=S

则n^3+3n^2+3n+1=1+3*S+3*(1+n)*n/2+n

化简得：S=n(n+1)*(2n+1)/6

Sn=1+√2+√3+√4+...+√n的求和通项公式..则太复杂了，我也不会

连续自然数求和公式

连续自然数求和公式是：从1到n的自然数之和的公式:

Sn=n*（n+1）/2；从m到n的自然数之和的公式：

Smn=（n+m）（n-m+1）/2。

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，假设一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫作等差数列的公差。

解：连续N个自然数之和Sn=n(n+1)/2..........1

其平均数为：Sn/n=(n+1)/2..................2

由题意n=1时，没有满足条件。故此，取n＞1

设去除的数为x，则1＜x≤n..................3

去除后，其平均数为：(Sn-x)/(n-1)=10.8.....4

将1式代入4式得：x=(n²-20.6n+21.6n)/2......5

由3，5式得：1＜(n²-20.6n+21.6n)/2≤n......6

解不等式6：19.6≤n≤21.6

n属于整数，则n=20或者n=21.

当n=20时，代入4式得，x=4.8，不满足题意，舍去。

当n=21时，代入4式得，x=15

综合上面所说得出：当n当n=21，x=15满足题意。

不然就唯有推理，按照Sn/n=(n+1)/2，去除一个数后，平均数为10.8，

1010.811,既然如此那，当(n+1)/2=10，n=21,当(n+1)/2=11，n=23,

故此，21≤n≤23，代会4式计算，应该排除22,23，得答案当n当n=21，x=15满足题意。

首项加末项 然后乘以项数除以2

自然数平方和公式推导：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6；利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n；2^3-1^3=2*2^2+1^2-2，3^3-2^3=2*3^2+2^2-3，4^3-3^3=2*4^2+3^2-4....n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n。

平方和公式是一个比较经常会用到公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数其实就是常说的正方形数的级数。平方和定义为2个或多个数的平方相加。一般是一部分正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可是无限多。

平方和的推导利用立方公式：

(n+1)³-n³=3n²+3n+1（1）

记Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2

对（1）式从1~n求和，得：

∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1

(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n

这个问题就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6

类似地，求立方和利用4次方公式：

(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1

比如：

2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1

3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1

4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1

去除中间步，将右边第一项移到左边得：

2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1

3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1

4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1

两边分别相加

(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3

整理即得

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6

扩展资料：

常见数列求和的方式：

1、公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2、错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

比如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上面说的式子/(1-q)

3、裂项法

适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的不少项。