高次方程通用解法，韦达定理四次方程公式

费拉里公式：

一元四次方程 ，（且）。

令，则：

，

此方程是以下两个一元二次方程的解。

；

。

这当中：

；，()。

y是一元三次方程的任一实根。

三次方程解法

卡尔丹（Cardano，1501～1576），意大利数学家。

一元三次方程的求根公式用一般的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方式只可以将型如的标准型一元三次方程形式化为的特殊型。

卡尔丹公式

一元三次方程

判别式

【卡尔丹公式】

；

；

，

这当中；

。

大多数情况下式一元三次方程

令代入上式，

可化为合适卡尔丹公式解答的特殊型三次方程。

四次方程的求根公式是x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，四次方程求根公式是数学代数学基本公式，由意大利数学家费拉里第一次提出证明。一元四次方程是未知数高次数不能超出四次的多项式方程，应用化四次为二次的方式，结合盛金公式解答。适用未知数高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程解答方式的启发而得到的。除初解法外，该方程是还有其他简单方便解法。

意大利数学家费拉里与一元四次方程的解法，卡当在《重要的艺术》一书中发布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式后面，塔塔利亚谴责卡当背信弃义，提出要与卡当进行辩论与比赛。这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行，代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。

一元四次方程的求根公式过于复杂。为了描述方便，不可以不借助哪些中间变量。

或 （取模很大的数值）

（若 u 为零，则 v 也取值为零）

上面三个公式中，k 可取值 1,2,3。（m,S,T）的取值好选择大的一组，这样计算 T 时数值稳定。假设三个 都是零，则上面三个变量按下面三个公式取值

四个根为（下式中 ）

是意大利数学家费拉里。

费拉里与一元四次方程的解法 卡当在《重要的艺术》一书中发布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式后面,塔塔利亚谴责卡当背信弃义,提出要与卡当进行辩论与比赛.这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行,代表卡当出场的是卡当的学生费拉里.费拉里(Ferrari L.,1522~1565)出身贫苦,少年时代曾作为卡当的仆人.卡当的数学研究导致了他对数学的热爱,当其数学才可以被卡当发现后,卡当就收他作了学生.费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时,风华正茂,他不仅掌握并熟悉了一元三次方程的解法,而且，掌握并熟悉了一元四次方程的解法,因而在辩论与比赛中获取了成功,并由此当上了波伦亚大学的数学教授.一元四次方程的解答方式,是受一元三次方程解答方式的启发而得到的.一元三次方程是在进行了巧妙的换元后面,把问题归结成了一元二次方程以此得解的.于是,假设可以巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程,就可处理问题.

一元四次方程的解法

各位考生都已经清楚一元二次方程和一元三次方程公式解的求法了，既然如此那，一元四次方程呢？讲解一下卡当的学生-费拉利的方式。

和一元三次方程的技巧，我们都要把方程降次来解。下面就是费拉里降次的方式：

将大多数情况下四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0

每项除以a，得到：

x4+(b/a)x3+(c/a)x2+(d/a)x+(e/a)=0

移项，得到：

x4+(b/a)x3=-(c/a)x2-(d/a)x-(e/a)

在等式两端同时加上(bx/2a)2，进行配方。

再在该式加上

上式右端是一个有关x的二次三项式。一定程度上选择y，使这个二次三项式也可以写成完全平方法。这是不难的，只要y能满足等式右边有关y的一元二次方程的根的判别式为0，即下面的等式：

完全就能够，这是一个有关y的三次方程。

这样，费拉里把解四次方程的问题归为解一个三次方程和两个二次方程的问题。

利用二次方程和三次方程的求根公式，四次方程的根可以直接用方程的系数表示出来。奈何这样的求根公式很复杂，故此，大家没有把它写出。

四次方程的求根公式是x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，四次方程求根公式是数学代数学基本公式，由意大利数学家费拉里第一次提出证明。一元四次方程是未知数高次数不能超出四次的多项式方程，应用化四次为二次的方式，结合盛金公式解答。

适用未知数高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程解答方式的启发而得到的。除初解法外，该方程是还有其他简单方便解法。意大利数学家费拉里与一元四次方程的解法，卡当在《重要的艺术》一书中发布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式后面，塔塔利亚谴责卡当背信弃义，提出要与卡当进行辩论与比赛。这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行，代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。

四次方程

四次方程是未知数高次数为四次的多项式方程。本篇只讨论一元四次方程，并简称为四次方程。

基本信息

中文名

四次方程

别名

Quartic equation

拼音

sì cì fāng chéng

目录

基本讲解

四次方程属于高次方程范畴，其基本解法思想是：通过一定程度上的配方，使四次方程变为两个一元二次方程．

一元四次方程的解答，据说是由卡尔达诺的学生费拉里(Ferrari，1522年2月2日到1565年10月5日)第一掌握并熟悉的．费拉里曾利用它战胜了塔尔塔利亚．

四次方程的解答主要是以下两种情况：

四次方程

1.假设一个一元四次方程的三次项系数和一次项系数都为 ，既然如此那，该一元四次方程是双二次方程：

四次方程

2.大多数情况下的一元四次方程可化为：

四次方程

这样的大多数情况下情况主要有两种处理方式：（1）Euler(欧拉)；（2）Ferrari(费拉里)，这个方向具体陈述第二种。

解法

情况特殊

假设一个一元四次方程的三次项系数和一次项系数都为0 ，既然如此那，该一元四次方程是双二次方程：

四次方程

四次方程

四次方程

令 ，得 。用一元二次方程的求根公式可得出

四次方程

四次方程

则原方程的四个根分别是：

四次方程

四次方程

四次方程

四次方程

大多数情况下情况

1

大多数情况下的一元四次方程可化为：

四次方程

Ferrari(费拉里)

移项可得：

四次方程

四次方程

两边同时加上 配成平方：

四次方程

四次方程

在两边同时加上 ，可得：

四次方程

若使右边这个x的二次式的判别式等于零，就可以使这一边成为x的一次式的完全平方。于是设

四次方程

四次方程

这是y的一个三次方程。选取这三次方程的任一个根代入 中的y。按照左边

也是个完全平方这一事实，取平方根，得到x的一个二次式，它等于x的两个互为正负的线性函数之一。解出这两个二次方程便得到x的4个根。若从

四次方程

选取另一个根就可以从

四次方程

引出一个不一样的方程但得到同样的四个根。

费拉里发现的上面说的解法的创造性及巧妙之处在于：

首次配方后引进参数y，并再次配方把左边配成含有参数y 的完全平方，再使 右边也成为完全平方，以此把一个一元四次方程的解答问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的解答问题．

因为这个原因，我们可得四次方程求根公式。

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