弹簧振子做简谐运动的周期公式，单摆周期公式如何推导

弹簧振子的周期公式目前不怎么考了，和小球的质量和弹簧的劲度系数相关；单摆的周期公式是考察的重点，只和摆长相关。弹簧振子和单摆的周期和频率被称为固有周期和固有频率，就是因为只与振动系统本身的原因相关，和振幅没相关系。

单摆的周期公式是 T=2π√(L/g)

证明：

摆球的摆动轨迹是一个圆弧，设摆角(摆球偏离竖直方向的的视角)为θ，则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ，设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l，则当摆角很小时,可以觉得sinθ=x/l.。故此单摆的回复力为F=-mgx/l。

针对系统来说,m、g、l都是定值，故可觉得k=mg/l，则F=-kx。

因为这个原因在单摆很小的情况下，单摆做简谐运动。

将k=mg/l代入ω=√(k/m)可得ω=√(g/l)，由T=2π/ω可得单摆周期公式

T=2π√(l/g)

弹簧振子

F=-kx

a=d²x/dt²

=-(k/m)x=-ω²x ω=√(k/m)

d²x/dt²+ω²x=0

解微分方程

得：x=Acos(ωt+φ)

ω=2π/T

T=2π/ω=2π√(m/k)

单摆：

F切=ma=-mgsinθ a=ld²θ/dt²

ma=mld²θ/dt²=-mgsinθ

d²θ/dt²+(g/l)sinθ=0

θ5° sinθ≈θ

弹簧振子的固有周期T=2π√(m/K)

频率为周期倒数，f=1/T