函数的周期性的口诀，函数的周期性和对称性公式

答：函数的周期性的口诀：

复合函数的周期性口诀:设y=f(u)的小正周期为T1,u=φ(x)的小正周期为T2,则y=f(u)的小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+)。

周期函数的判断方式分为以下几步：

（1）判断f（x）的定义域是不是有界；

例子：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。

（2）按照定义讨论函数的周期性就可以清楚的知道非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可以通过解有关T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

例子：f（x）=cosx^2 是非周期函数。

（3）大多数情况下用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，以此得出f（x）是非周期函数）。

例子：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。

证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），促使其成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f（x）是非周期函数。

例子：证f（x）= ax+b是非周期函数。

证：假设f（x）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T）= f（x），当x=0时，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）与f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函数。

第一个，就是对称性。

对称性指的是函数的图像，这当中包含有2个部分知识：点对称和轴对称；

比如，y=sinx的图像是点对称的图像；

又如，y=cosx的图像是轴对称的图像；

第二个，就是周期性。

周期性是指：若T为非零常数，针对定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数。

T叫做这个函数的一个周期。

比如，y=sinx是一个周期函数，

它的周期是2π；

又如，y=cosx也是一个周期函数，

它的周期也是2π；

第三个，就是奇偶性。

奇函数和偶函数重要，要优先集中精力的特性在于，

奇函数：f(-x)=-f(x)，

比如正弦函数y=sinx；

偶函数：f(-x)=f(x)，

比如余弦函数y=cosx；

对称性的公式y=sinx的图像是点对称的图像和y=cosx的图像是轴对称的图像。

周期性是指若T为非零常数，针对定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数。T叫做这个函数的一个周期。如，y=sinx是一个周期函数，它的周期是2π，又如，y=cosx也是一个周期函数，它的周期也是2π。奇函数和偶函数重要，要优先集中精力的特性在于，奇函数：f(-x)=-f(x)，如正弦函数y=sinx。偶函数，f(-x)=f(x)，如余弦函数y=cosx。

解：函数周期性利用函数的周期的性质。这里说的函数的小正周期T(T0)是全部函数的正周期中的小值，例如函数y=sinx,的小正周期为2Pai,针对任意的x:R,满足f（x+T)=f(x)恒成立，即f(x+2pai)=f(x)恒成立。

证明：假设该函数的小正周期为T,T=min{正周期的集合}，，T0,是常数，小正周期是全部的正周期中小的那个正周期。

f（x+T)=f(x)对任意x:R恒成立

sin(x+T)=sinx

sinxcosT+cosxsinT=sinx

cosTsinx-sinx+sinTcosx=0

(cosT-1)sinx+sinTcosx=0

[(cosT-1)^2+sinT^2)]^1/2sin(x+b)=0

tanb=sinT/(cosT-1)=-sinT/(1-cosT)=-1/[(1-cosT)/sinT]=-1/tanT/2=-cotT/2=-tan(pai/2-T/2)=tan(-pai/2+T/2) b=kpai-pai/2+T/2,k:Z,公式tanx/2=sinx/(1+cosx)=(1-cosx)/sinx,

-pai/2

[cosT^2-2cosT+1+sinT^2]^1/2sin(x+b)=0恒成立

（2-2cosT)^1/2sin(x+b)=0恒成立

2（1-cosT)^1/2sin(x+b)=0恒成立

（1-cosT)^1/2sin(x+b)=0

x:R,b是（-pai/2,pai/2)当中的常数，令b=0,x+b=x+0=x,:R,针对（-pai/2,pai/2)当中某个数b,它的值域是R,既然如此那，（-pai/2,pai/2)真包含{0}，范围比0大，b=0,R,范围比0大，这个常数的范围比0大，既然如此那，值域的范围一定比b=0时候的值域大，至少和它相等，R已经是大的值域了，故此，针对b属于（-pai/2,pai/2)的值域={0}的值域=R,sin(x+b)在R上的值域是[-1,1],

针对一个ax=0恒成立，x在某个区间内变化，x:[a,b]中变化，针对[a,b]中任意的x,ax=0恒成立，则系数a=0,0*x=0,x:R,0乘以任何实数=0，[a,b]真包含于R,是R的子区间，在R上成立，既然如此那，在子区间[a,b]一定成立，0*x=0,x；[a,b]恒成立。

（1-cosT)^1/2=0

1-cosT=0

cosT=1

T=2kpai,k:Z,T的终边在xx的正半轴上，k:Z

T0,2kpai0,k0,k:Z，k；Z+,同时满足k0,k:Z,大于0的整数，就是正整数。

T=2pai*k,2pai0,T在R上是增函数，然后Z+真包含于R,Z+是R的子区间，在Z+上枯燥乏味递，Z+：1,2.3.....+无穷，kmin=1,Tmin=2pai*1=2pai.

小正周期，1.是正周期，得出k0,2.小是全部正周期中小的正周期，Tmin=2pai.

证明结束

大多数情况下地，假设存在一个非零常数T，让针对函数f(x)的定义域中的任意一个x和x+T，都拥有f(x+T)=f(x)。那么函数f(x)就叫做周期函数，并且把非零常数T叫作这个函数的一个周期。

中学数学经常会用到到的周期函数的公式

sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2π

cosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。

tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。

secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。