一阶线性微分方程的通解公式，一阶线性方程的求解公式是什么

形如：

F(x, y, y') = 0 （1）

的方程，被称为一阶微分方程，这当中 x 是自变量，y 是 x 的未知函数，y' 是 y 的导函数。

假设 函数 y = φ(x) 让，

F(x, φ(x), φ'(x)) = 0

则称 该函数 为 （1） 的一个解。

将 y' 从 （1） 中 提取出来，表示为：

y' = f(x, y)

被称为 解出导函数的微分方程。

进一步，假设 f(x, y) = p(x)y + q(x)，则 方程 变成：

y' = p(x)y + q(x) （2）

被称为 一阶线性微分方程。令 q(x) = 0 ，得到方程：

y' = p(x)y （2）'

被称为 一阶齐次线性微分方程，而 （2） 被称为 一阶非齐次线性微分方程。

为什么 （2）' 叫做 齐次，而 （2） 不是 呢？

齐次：多项式各项 的未知元 次数 一样。

因为 （2）' 各项 y' 和 p(x)y 中，未知函数 y 的 次数 都是 1，即，各项未知元次数平齐；而 （2） 的项 q(x) = q(x)y⁰ 中 y 的次数 是 0，不一样与 另外 两项 中 y 的次数 1 ，即，各项未知元次数不平齐。

针对，一阶齐次线性微分方程，有，

等式两边有关 x 积分，有，

再令，c = ±eᒼ ，后得到 齐次方程通解：

由 常数 C 是任意实数，得到 常数 c 是不等 0 的 任意实数，而 c = 0 时，y = 0 ，因 y’ = 0 = p(x) 0 = p(x)y， 是方程的 解，故 常数 c 同样为 任意实数。

将 齐次方程通解 中的 常数 c 变异为 x 的函数 c(x)，得到：

再代入 非齐次方程 （2） 有，

结果，代入前面等式， 再将 C 改成 c，后得到 非齐次方程通解：

以上，解答 非齐次方程 通解 的方式，称为 常数变异法。

有部分 微分方程 虽然表面上看，不是 一阶线性微分方程，但实际上 都是 （2） 中 y 被换元 的结果。比如，令，

代入 （2） 有，

令，P(x) = p(x) / (1- n), Q(x) = q(x) / (1-n)，得到：

这被称为，伯努利微分方程。我们只得出 对应的 一阶线性微分方程：

的通解：

完全就能够得到 伯努利微分方程 的通解：

解出导函数的微分方程 中 假设 令 f(x, y) = -P(x, y) / Q(x, y)，并将 y' 表示为 微分形式 dy/dx 则方程变形为：

dy/dx = -P(x, y) / Q(x, y)

即，

P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0 （3）

若，存在 函数 u(x, y) 让，

P(x, y) = ∂u(x, y) /∂x , Q(x, y) = ∂u(x, y) /∂y

则，按照 全微分，有，

d u(x, y) = (∂u(x, y)/∂x) dx + (∂u(x, y) /∂y) d y = P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0

等式两边 有关 u 积分 得到：

∫ d u(x, y) = ∫ 0 d u

即，

u(x, y) = c

规定 u 有 连续偏导数，则 按照隐函数定理，解 y = φ(x) 存在。

由前面的要求，有：

∂P(x, y)/∂y = ∂²u(x, y) /∂x∂y = ∂²u(x, y) /∂y∂x = Q(x, y)/∂x

即，

∂P/∂y = ∂Q/∂x

称满足上面 合适条件的 微分方程 （3） 为 合适微分方程。

有的时候，候，微分方程 （3） 没有满足 合适条件，我们可以 在等式 两边 乘以 积分因子 μ(x, y)，得到：

μ(x, y)P(x, y) dx + μ(x, y)Q(x,y) dy = 0 （3）'

这时 合适条件 变为：

∂(μP)/∂y = ∂(μQ)/∂x

P∂(μ)/∂y + μ∂P/∂y = Q∂μ/∂x + μ∂Q/∂y

整理，得到：

P∂(μ)/∂y - Q∂μ/∂x = (∂Q/∂y - ∂P/∂y)μ

这是一个偏微分方程，从中 解出 μ 再代回 （3）' 找寻 全微分 解答。

一阶线性微分方程 （2） 可以变形为：

-(p(x)y + q(x)) dx + dy = 0

令，P(x, y) = -(p(x)y + q(x)), Q(x, y) = 1 就变成 了 （3） 的形式，但，

∂P/∂y = -p(x) ≠ 0 = ∂Q/∂x

于是，我们需添加 积分因子，

μ = e^{-∫ p(x) d x}

这样以来，需解答的方程为，

-e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x)) dx + e^{-∫ p(x) d x}dy = 0

满足，条件：

∂(μP)/∂y = -e^{-∫ p(x) d x}p(x) = ∂(μQ)/∂x

又，因为，

∂u/∂x = -q(x) e^{-∫ p(x) d x} - p(x)e^{-∫ p(x) dx}y = -e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x))

∂u/∂y = e^{-∫ p(x) dx}

故此， u(x, y) 就是 需解答的方程 的 解。从 u(x, y) 这当中 解出 y 与前面的 结果一模一样。

一阶非齐次线性方程的通解，可以变形为：

这当中， ỹ 就是 对应 齐次方程的通解，而 y₀ 为 一个非齐次方程 的特解，其实就是常说的说：

一阶非齐次线性方程的通解 为 非齐次的一个特解 与 齐次的通解 之和。

注：可以证明，这个结论，针对高阶非齐次线性方程 同样适用。

再回看前面 常数变异法 发现 中间步骤，

假设，令，

则，得到方程 （4）：

从中，可以求得 c'(x)，于是，一阶非齐次线性方程的通解为：

这当中，ỹ₀ 是一阶齐次线性方程的特解。通解 ỹ = cỹ₀ 实际上 是 ỹ₀ 的线性组合。

也是时说，我们只要求得 一阶齐次线性方程的一个特解 ỹ₀，然后 从 方程 （4）' 得出 还未确定函数 c'(x) 完全就能够 一阶非齐次线性方程的通解了。

注：这个解答过程，可以推广到 高阶非齐次线性方程。

比如，当 一阶线性非齐次方程 中 p(x) = -a 和 q(x) = b 是常数时，对应方程，

y' + ay = b

被称为 一阶常系数微分方程，其 对应齐次常系数微分方程，

y' + ay = 0

的特解为

ỹ₀ = e⁻ᵃˣ

由方程 （4） ，求得：

c'(x) = b/ỹ₀

于是，后得到 一阶常系数微分方程 的通解为：

y = ỹ₀∫ b/ỹ₀ dx + cỹ₀ = e⁻ᵃˣ∫ beᵃˣ dx + ce⁻ᵃˣ = ce⁻ᵃˣ + b/a

一阶线性微分方程 不仅是 一阶微分方程 又是 线性微分方程，因为这个原因从中 可以看得出来 两种理论的 影子，因为整版内容有限，也害怕跑题太远，这里并没有 展开 这些精彩的理论，以后有机会再说！

(补充：2023/4/18)

为什么 （2） 被称为 线性呢？

线性来自于，（2） 的齐次方程 对应的 算子：

F(y) = y' - p(x)y

可以保持 函数的 线性运算，即，

保持加法： F(y + z = (y + z)' - p(x)(y + z) = y' + z' - p(x)y - p(x)z = y' - p(x)y + z' - p(x)z = F(y) + F(z)

保持数乘：F(cy) = (cy)' - p(x)(cy) = cy' - cp(x)y = c(y' - p(x)y) = cF(y)

这当中，y, z 都是任意可微函数，c 是常数。

通解公式是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。

一般将含有一元函数的导数或微分的等式称为常微分方程，若方程中所含导数或微分的高阶数为二阶，则称为二阶微分方程，若微分方程有关未知函数及其各阶导数都是一次整式，则称为线性微分方程，形如 是线性微分方程，形如 不是线性微分方程。

一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式应用“常数变易法”解答.

∵由齐次方程dy/dx+P(x)y=0

==dy/dx=-P(x)y

==dy/y=-P(x)dx

==ln│y│=-∫P(x)dx+ln│C│ (C是积分常数)

==y=Ce^(-∫P(x)dx)

∴此齐次方程的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx)

于是,按照常数变易法,设一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的解为

y=C(x)e^(-∫P(x)dx) (C(x)是有关x的函数)

代入dy/dx+P(x)y=Q(x),化简整理得

C'(x)e^(-∫P(x)dx)=Q(x)

==C'(x)=Q(x)e^(∫P(x)dx)

==C(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C (C是积分常数)

==y=C(x)e^(-∫P(x)dx)=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx)

故一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式是

y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) (C是积分常数).

一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)，

通解为 y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C}，

用的方式是先解齐次方程，再用参数变易法解答非齐次；

扩展资料：

微分方程伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在哪些不一样的面向，但大多数都是关心微分方程的解。唯有少数简单的微分方程可以求得剖析解读解。不过就算没有找到其剖析解读解，也还是可以确认其解的部分性质。在没办法求得剖析解读解时，能用到数值分析的方法，利用电脑来找到其数值解。动力系统理论强调针对微分方程系统的量化分析，而不少数值方式可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

公式是∫e^(-p(x))dx，这个积分是个不定积分，本身就包含了一个常数。不需要再写∫e^(-p(x))dx+c了。

扩张资料

什么叫做一阶线性微分方程？

形如(记为式1)的方程称为一阶线性微分方程。其特点是它有关未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里假设,是x的连续函数。

若,式1变为(记为式2)称为一阶齐次线性方程。 假设不恒为0,式1称为一阶非齐次线性方程,式2也称为对应于式1的齐次线性方程。 式2是变量分离方程,它的通解为,这里C是任意常数。

正常情况下，微分方程方程都拥有边界条件和/或初始条件，当你清楚p(x)的详细形式时，算这个不定积分，应该保留一个常数，而后用边界条件和/或初始条件来确定常数的值，得到完全确定的解。

一阶线性微分方程的解答大多数情况下采取

常数变易法

通过常数变易法，可得出一阶线性微分方程的通解。

常数变易法是个特殊的变量代换法。形如y+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项有关y、y的次数为0或1。

一阶线性微分方程的解法是：

dy/dx+P(x)y=Q(x)，先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0，解得y=Ce－∫P(x)dx，再令y=ue－∫P(x)dx代入原方程，解得u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C，故此，y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C］，即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx，∫Q(x)e∫P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解。