导数公式的推导过程，导数运算法则推导过程视频

导数公式推导过程请看下方具体内容:

　　1.因为y=c是一条平行于x轴的直线，故此，处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也差不多的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

　　⒉上面的推导可以暂且不证明，因为若是按照导数的定义来推导，就不可以推广到n为任意实数的大多数情况下情况。在得到 y=e^x y=e^x和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

　　⒊y=a^x,

　　△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

　　△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

　　假设直接令△x→0是不可以导出导函数的，一定要设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以清楚：△x=loga(1+β)。

　　故此，(a^△x-1)/△x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

　　明显，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e，故此，limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

　　把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

　　可以清楚，当a=e时有y=e^x y=e^x。

　　⒋y=logax

　　△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

　　△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

　　因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，故此，lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)=logae，故此，有

　　lim△x→0△y/△x=logae/x。

　　可以清楚，当a=e时有y=lnx y=1/x。

　　这时可以进行y=x^n y=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n，故此，y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

　　故此，y=e^nlnx·(nlnx)=x^n·n/x=nx^(n-1)。

　　⒌y=sinx

　　△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

　　△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)

　　故此，lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)·lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx

　　⒍类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。

　　⒎y=tanx=sinx/cosx

　　y=[(sinx)cosx-sinx(cos)]/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

　　⒏y=cotx=cosx/sinx

　　y=[(cosx)sinx-cosx(sinx)]/sin^2x=-1/sin^2x

　　⒐y=arcsinx

　　x=siny

　　x=cosy

　　y=1/x=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

　　⒑y=arccosx

　　x=cosy

　　x=-siny

　　y=1/x=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

　　⒒y=arctanx

　　x=tany

　　x=1/cos^2y

　　y=1/x=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2

　　⒓y=arccotx

　　x=coty

　　x=-1/sin^2y

　　y=1/x=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

　　⒔联立：

　　（1）(ln(u^v))=(v * lnu)

　　（2）(ln(u^v))=ln(u^v) * (u^v)=(u^v) / (u^v)

　　另外在对双曲函数shx,chx,thx等还有反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

　　⒋y=u±v,y=u±v

　　⒌y=uv,y=uv+uv

导数公式推导过程请看下方具体内容：

y=a^x，△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x。

假设直接令△x→0是不可以导出导函数的，一定要设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以清楚：△x=loga（1+β）

故此，（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β。

明显，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，故此，limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以清楚，当a=e时有y=e^x y=e^x。

经常会用到导数：

y = C(C为常数) , y = 0。

y=xn, y = nxn-1。

y = ax, y = lna*ax。

y = ex, y = ex。

y = logax , y = 1 / (x*lna)。

y = lnx , y = 1/x。

y = sinx , y = cosx。

y = cosx , y = -sinx。

y = tanx , y = 1/cos2x = sec2x。

y = cotx , y = -1/sin2x= -csc2x。

y = arcsinx , y = 1 / √(1-x2)。

y = arccosx , y = - 1 /√(1-x2)。

y = arctanx , y = 1/(1+x2)。

求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

（1） 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

（2） 求平均变化率

（3） 取极限，得导数。

说得详细点，就是在函数上取相近的两点，求这两点的斜率，当这两点足够近时（取极限），所得的值就是函数在该点的导数。大多数情况下求导都是直接用导数公式（靠记忆）

用极限推导，在选修2-2里

(f(x)g(x))

=im（x+h）v（x+h）-u（x）v（x）]/h}

=lin(x+h)v(x+h)-u(x)v(x+h)]/h}+LIM{[u(x)v(x+h)-u(x)v(x)]/h}

=u(x)v(x)+u(x)v(x)

[f(x)/g(x)]

=lim(Δx→0)(f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)/g(x))/Δx)

=lim(Δx→0)((g(x)*f(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx))/(g(x+Δx)*g(x)))/Δx)

=lim(Δx→0)((g(x)*f(x+Δx)/Δx-f(x)*g(x+Δx)/Δx)/(g(x+Δx)*g(x)))

=lim(Δx→0)(g(x)*f(x+Δx)/Δx-f(x)*g(x+Δx)/Δx)/lim(Δx→0)(g(x+Δx)*g(x))

=lim(Δx→0){[g(x)*f(x +Δx)-g(x)*f(x)]/Δx+[g(x)*f(x)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx}/lim(Δx→0)(g(x+Δx)*g(x))

=(f(x)g(x)-f(x)g(x))/(g(x))²

导数公式推导过程：

1、显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，故此，处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也差不多的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

2、这个的推导暂且不证，因为假设按照导数的定义来推导，就不可以推广到n为任意实数的大多数情况下情况。在得到y=e^x y=e^x和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

⒊、y=a^x，y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），y/△x=a^x(a^△x-1）／△x。

假设直接令△x→0是不可以导出导函数的，一定要设一个辅助的函数β＝a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以清楚：△x=loga（1+β）。

故此，（a^△x-1）／△x=β／loga（1+β）＝1/loga（1+β）＾1/β。

明显，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）＾1/β＝e，故此，limβ→01/loga（1+β）＾1/β＝1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）／△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以清楚，当a=e时有y=e^x y=e^x。

4、y=logax，△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga/x，△y/△x=loga/x。

因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，故此，lim△x→0loga（1+△x/x)^(x/△x)=logae，故此，有lim△x→0△y/△x=logae/x，可以清楚，当a=e时有y=lnx y=1/x。

这时可以进行y=x^n y=nx^(n-1）的推导了。因为y=x^n，故此，y=e^ln(x^n)=e^nlnx。

故此，y=e^nlnx·（nlnx)=x^n/x=nx^(n-1）。

5、y=sinx。

△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）。

△y/△x=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）／△x=cos(x+△x/2）sin（△x/2）／（△x/2）。

故此，lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2）lim△x→0sin（△x/2）／（△x/2）＝cosx。

6、类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。

7、y=tanx=sinx/cosx。

y=/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x。

8、y=cotx=cosx/sinx，y=/sin^2x=-1/sin^2x。

9、y=arcsinx，x=siny，x=cosy，y=1/x=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2。

10、y=arccosx，x=cosy，x=siny，y=1/x=1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2。

11、y=arctanx，x=tany，x=1/cos^2y，y=1/x=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2。

12、y=arccotx，x=coty，x=-1/sin^2y。

cotx导数：-1/sin²x。

解答过程请看下方具体内容：

(cotx)`=(cosx/sinx)`

=[(cosx)`sinx-cosx(sinx)`]/sin²x（商的求导公式）

=[-sinxsinx-cosxcosx]/sin²x

=[-sin²x-cos²x]/sin²x

=-1/sin²x

扩展资料：

相关余切的诱导公式：

1.cot(kπ+α)=cot α

2.cot(π/2-α)=tan α

3.cot(π/2+α)=-tan α

4.cot(-α)=-cot α

5.cot(π+α)=cot α

6.cot(π-α)=-cot α

经常会用到导数公式：

1.y=c(c为常数) y=0

2.y=x^n y=nx^(n-1)

3.y=a^x y=a^xlna，y=e^x y=e^x

4.y=logax y=logae/x，y=lnx y=1/x

5.y=sinx y=cosx

6.y=cosx y=-sinx

7.y=tanx y=1/cos^2x

8.y=cotx y=-1/sin^2x