集合容斥原理公式，三集合容斥原理公式解释及推导

1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B

2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

我们先看一个题，了解下什么是三集合容斥问题问题。

【例题一】某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（ ）

A.1人 B.2人 C.3人 D.4人

本例中，学生学三门课，学这三门课的学生当中存在交叉的情况，这是一个典型的三集合容斥问题。

公职考试公务员行政职业能力测验：数量关系中的三集合容斥问题

三集合容斥问题公式：

（1）A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都没有满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去两两重叠的部分，但是，中间三者重叠的部分减去了三次，基本上等同于被挖空了，故此，还得加上它。

（2）A+B+C-只满足两个条件的个数-2倍满足三个条件的个数=总数-三者都没有满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去重叠两层的面积，再减去重叠三层的面积的两倍。重叠2层，只用减去1层，重叠3层，得减掉2层。

（3）只满足一个条件的个数+只满足两个条件的个数+满足三个条件的个数=总数-三者都没有满足的个数。

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于唯有一层的面积+重叠两层的面积+重叠三层的面积。

我们再来看例题一：

【剖析解读】例题一满足公式（1）的情况，设什么课都没选的人员数量是x，则按照公式（1）：40+36+30-28-26-24+20=50-x，得x=2。故此，什么课都没选的考生有2人。

【例题二】某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参与长跑的有49人，参与跳远的有36人，参与短跑的有28人，只参与这当中两个项目标有13人，参与都项目标有9人。既然如此那，参与该次运动会的总人员数量为？（）

A.75 B.82 C.88 D.95

【剖析解读】这道题满足公式（2）的应用条件，故此，49+36+28-13-2*9=总人员数量=82

三集合容斥公式：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C |

假设被计数的事物有A、B、C三类，既然如此那，A类、B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—不仅是A类又是B类的元素个数—不仅是A类又是C类的元素个数—不仅是B类又是C类的元素个数+不仅是A类又是B类而且，是C类的元素个数。

即A∪B∪C=A+B+C−A∩B−B∩C−C∩A+A∩B∩C。

3、集合的容斥关系

两个集合的容斥关系公式：A∪B=|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|（∩：重合的部分）。

三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|（∩：重合的部分）。

集合容斥极值问涵盖多个集合，但集合当中的相互关系依然不会明确。

(1)集合当中没有任何交叉时，这些集合的元素总数多。

(2)当一个集合包含另一个集合时，这两个集合的元素总数少。

设我们全体的数量为m，我们全体之下的集合分别是A、B、C、D…并用a、b、c、d…表示每个集合的数量，则有：

A∩B的小值=a+b-m

A∩B∩C的小值=a+b+c-2m

A∩B∩c∩D的小值=a+b+c+d-3m

中公点评：多个集合的小值可依这种类型推，依照上面公式进行计算。

A∪B∪C表示ABC三个圆圈覆盖的面积；A∩B∩C表示满足三个条件，在实质上的解题中注意两点：

（1）有不满足ABC任意一项的，并没有在图中展示。

（2）A∩B是包含A∩B∩C，仅满足A∩B=A∩B-A∩B∩C，其他同理。

二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的实质和二集合容斥原理差不多的，只不过因为又多了一个集合，公式和图形描述都变得更复杂。

扩展资料：

假设被计数的事物有A、B、C三类，那么A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—不仅是A类又是B类的元素个数—不仅是A类又是C类的元素个数—不仅是B类又是C类的元素个数+不仅是A类又是B类而且，是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。

二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩duB|，三集合容斥原理的实质和二集合容斥原理差不多的，只不过因为又多了一个集合，公式和图形描述都变得更复杂。

这当中A和B是两个集合，|A|表示集合A中的元素个数。在理解容斥原理时，完全可以把元素的个数类比做图形的面积。

三集合容斥原理这种类型题型主要出现在->近几年来每个省份的公务员省考中，主要是有三个独立的个体，这种类型题型主要的答题方式是公式法和作图法。

公式应用：

【例】某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（ ）

C.3人D.4人

【剖析解读】40+36+30-28-26-24+20=50-X，解得X=2。

三集合容斥问题的核心公式请看下方具体内容：

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，针对以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。