为什么复化求积，柯特斯系数和为1

复化求积公式(composite integration rule )是一类重要的求积公式。指将求积区间分为m个子区间，对每个子区间应用同一求积公式，所得到的复合数值积分公式。

为了提升数值积分的精确度，常采取将区间等分成个子区间，其长度为，在每个子区间上用低阶的求积公式，然后将全部子区间上的计算结果加起来，这样得出的公式称为复化求积公式。

牛顿-科特斯公式

科特斯(Cotes)系数

特点：Cotes 系数仅主要还是看 n 和 i，可以通过查表得到。与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。

n = 1: 为梯形求积公式

梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积。梯形公式的余项为 代数精度 = 1

n = 2:

Simpson求积公式（为抛物线求积公式）

辛普森公式的余项为 代数精度 = 3

n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）

柯特斯公式的余项为 柯特斯公式具有5次代数精度

科特斯系数具有以下特点：

(1) 当 n ? 8 时，产生负数，稳定性得不到保证。而且，当 n 很大时，因为Runge情况，收敛性也没办法保证。大多数情况下不采取高阶的牛顿-科特斯求积公式。

当 n ? 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1 阶代数精度。

牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的

复化求积公式特点

直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会很大当n8时，公式的舍入误差又超级难得到控制这个时候，使用复化方式，然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，后将每个小区间上的积分的近似值相加，这样的方式称为复化求积法

复化梯形公式余项为 误差是阶 即复化梯形公式是收敛的

误差是h4阶， 复化辛普森公式是收敛的时候，复化柯特斯公式也是收敛的三种复化公式的余项

科特斯系数的来源由相等小区间的牛顿插值函数还有N-c积分公式结合起来证明，令yi=f(xi)=1，则Pn(xi)=1，易证每阶差分都为零