因式分解的公式大全，十二种因式分解公式及例题

因式分解公式： 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² 把式子倒过来： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)² 就变成了因式分解，因为这个原因，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方式称之为公式法。 例子：

1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)

2、p4-1 =(p²+1)(p²-1) =(p²+1)(p+1)(p-1)

3、x²+14x+49 =x²+2·7·x+7² =(x+7)²

4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)² =(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)² =[(m-2n)+(m+n)]² =(2m-n)²

▲提公因式法

假设一个多项式的各项都含有公因式，既然如此那，完全就能够把这个公因式提出来，以此将多项式化成两个因式乘积的形式。

▲应用公式法

因为分解因式与整式乘法有着互逆的关系，假设把乘法公式反过来，既然如此那，完全就能够用来把某些多项式分解因式。如，和的平方、差的平方

▲分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，以此得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，以此得到(a+b)(m+n)

▲十字相乘法（常常使用）

针对mx +px+q形式的多项式，假设a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

▲配方式

针对那些不可以利用公式法的多项式，有的能用到故将他配成一个完全平方法，然后再利用平方差公式，就可以故将他因式分解。

▲拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

▲换元法

有的时候，在分解因式时，可以选择多项式中的一样的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，后再转换回来。

▲求根法

令多项式f(x)=0,得出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

▲图像法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

▲主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

▲利用特殊值法

将2或10代入x，得出数P，将数P分解质因数，将质因数一定程度上的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

▲还未确定系数法

第一判断出分解因式的形式，然后设出对应整式的字母系数，得出字母系数，以此把多项式因式分解。

=a^2x^2+2abxy+b^2y^2+b^2x^2-2abxy+a^2y^2=a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2=a^2(x^2+y^2)+b^2(x^2+y^2)=(a^2+b^2)(x^2+y^2)

1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。

3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。

6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。

7、三项完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。

8、三项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。

成绩因式分解的方式？

因式分解没有普遍的方式，初中数学考试教材中主要讲解了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，还未确定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

注意三原则

1 分解要彻底

2 后结果唯有小括号

3 后结果中多项式首项系数为正

归纳方式：

1、提公因式法。

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

假设一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，以此将多项式化成两个因式乘积的形式，这样的分解因式的方式叫做提公因式法。

详细方式：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的大公约数；字母取各项的一样的字母，而且，各字母的指数取次数低的；取一样的多项式，多项式的次数取低的。当各项的系数有成绩时，公因式系数的分母为各成绩分母的小公倍数，分子为各成绩分子的大公约数（大公因数）

假设多项式的第一项是负的，大多数情况下要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

比如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)

注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

2、公式法。

假设把乘法公式反过来，完全就能够把某些多项式分解因式，这样的方式叫公式法。

平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2

反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)

完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式一定要是三项式，这当中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

两根式：ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a)

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

比如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2

3、分组分解法。

4、凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]

5、组合分解法。

6、十字相乘法。

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这样的方式的重点是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，既然如此那，可以直接写成结果：ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

在运用这样的方式分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它本质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，时常需多次试验，一定注意各项系数的符号。

基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)，这里说的十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.例如说:把x^2+7x+12进行因式分解，上式的常数12可以分解为3×4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，故此，上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3)(x+4)

又如：分解因式:a^2+2a-15，上式的常数-15可以分解为5×(-3)。而5+(-3)又恰好等于一次项系数2。故此，a^2+2a-15=(a+5)(a-3)

十字相乘法介绍：

x^2-3x+2

请看下方具体内容：

x -1

╳

x -2

左边x乘x= x^2

右边-1乘-2=2

中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x

上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】

就等于（x-1）*（x-2）

x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）

7、双十字相乘法。

8、配方式。

9、拆项法。

10、换元法。

11、长除法。

12、加减项法。

13、求根法。

14、图象法。

15、主元法。

16、还未确定系数法。

17、特殊值法。

18、因式定理法。

成绩的因式分解法主要是用在成绩的加减法，因式分解法所用的公式有：a²-b²=(a+b）（a-b），a²+2ab+b²=（a+b）²，a²-2ab+b²=（a-b）²，等等等等（以上公式中的a和b表示的是两个成绩）

题中满足以上条件的加减法，都可以按上面的公式进行解题

针对不满足以上条件的，我们也可按照题意，增项，补项等方式解题

各项都乘以成绩的小公倍数放在括号里乘以这个小公倍数的倒数放在括号前面，这样就把成绩系数变成了括号里你熟悉的整数系数了。

因式分解主要有十字相乘法，还未确定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方式，求根公因式分解没有普遍适用的方式，初中数学考试教材中主要讲解了提公因式法、运用公式法、分组分解法。

a²-b²=(a+b)(a-b)

a²+2ab+b²=(a+b)²

a²-2ab+b²=(a-b)²

a3+3a²b+3ab²+b3=(a+b)3

a3-3a²b+3ab²-b3=(a-b)3

a3+b3=(a+b)(a²- ab+b²)

a3- b3=(a- b)(a²+ab+b²)

a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)²