sin和差化积，正切的和差化积公式推导过程

积化和差公式是：

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

和差化积还有积化和差公式的推导很简单。

sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)

这样的基本的三角函数展开公式，就可以轻松掌握并熟悉8个公式的推导。



和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2

sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2

cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2

cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2

正弦、余弦的和差化积

sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

　　法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

　　因为

　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,

　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,

　　以上两式的左右两边分别相加,得

　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,

　　设 α+β=θ,α-β=φ

　　既然如此那，

　　α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

　　把α,β的值代入,即得

　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

　　法2

　　按照欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

　　故此，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

口诀

　　正加正,已经在前,余加余,余并肩

　　正减正,余在前,余减余,负正弦

　　反之亦然

在百科看看吧,

正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

　　∴等式成立

解答：余弦Cosa乘余弦Cosb的公式是

Cosa Cosb＝

1／2〈Cos（a十b）十Cos（a一b）〉。这大多数情况下叫做“积化和差”公式。

推导请看下方具体内容：

由“两角和与差的余弦”公式有

Cos（a十b）＝cosa cosb一sina sinb（1）

Cos（a一b）＝cosa cosb

十sina sinb（2）

（1）式十（2）式就有

Cos（a＋b）＋Cos（a一b）＝2cosa cosb

∴Cosa Cosb

＝1／2〈Cos（a十b）十Cos（a一b）〉

可以用《正弦二倍角公式》。

比如

sin2u=2sinu×cosu,