不定定积分公式，不定积分四则运算方法总结

不定积分公式：∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c，这当中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数是一个导数等于f的函数F，即F′=f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。这当中F是f的不定积分。

求函数f(x)的不定积分，就是要得出f(x)的全部的原函数，由原函数的性质就可以清楚的知道，只要得出函数f(x)的一个原函数，另外，任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分没有四则运算法则，唯有基本公式法，第一类换元积分，第二类换元积分，分部积分等。

1、积分公式法：直接利用积分公式得出不定积分。

2、第一类换元法（即凑微分法）：通过凑微分，后依托于某个积分公式，进一步求得原不定积分。

积分经常会用到法则公式：

1、∫0dx=c 不定积分的定义。

2、∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c。

3、∫1/xdx=ln|x|+c。

4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c。

5、∫e^xdx=e^x+c。

6、∫sinxdx=-cosx+c。

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凑微分法

这个方式的诀窍在于要将f（x）dx凑成一个函数的微分形式d【F（x）】是微分运算的你晕孙。凑微分时，经常利用基本积分公式找出原函数，再讲原函数进行微分运算做系数调整

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换元法

主要分为有理式换元法、无理数换元法、三角换元法、对数换元等几种，其重要之处在于设置另外一个变量来替换原积分中的较为复杂的一些。

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分部积分法

当被积的函数是两种不一样类型的函数相乘是，也完全就能够用到分部积分法了

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直接积分法

这时常是应用于简单的积分式子，方式也很简单，只牢牢牢的记在心里，不能忘了住我们的基本积分公式，完全就能够处理这个问题了

不定积分公式为：在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′= f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定，这当中F是f的不定积分。

按照牛顿-莱布尼茨公式，不少函数的定积分的计算完全就能够简单方便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分当中的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们只是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分。扩展资料：积分发展的动力自实质上应用中的需求。

实质上操作中，有的时候，候可以用粗略的方法进行估算一部分未知量，但随着科技的发展，不少时候需清楚精确的数值。

要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

例如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高得出。

但假设游泳池是卵形、抛物型或更不规则的形状，还要用积分来得出容积。

物理学中，经常需清楚一个物理量（例如位移）对另一个物理量（例如力）的积累效果，这时也需用到积分。

解答请看下方具体内容：∫cscx dx=∫1/sinx dx=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx,两倍角公式=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)],注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C=ln|tan(x/2)|+C。

令u = tan(x/2)

则dx = 2 du/(1 + u²)

sinx = 2u/(1 + u²)

cosx = (1 - u²)/(1 + u²)

tanx = 2u/(1 - u²)

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第一类换元法（即凑微分法）通过凑微分，后依托于某个积分公式。进一步求得原不定积分。



2

第二类换元法常常用于消去被积函数中的根式。经常会用到的换元手段有两种：根式换元法和三角代换法。

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分部积分法，设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 两边积分，成绩部积分公式。

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有理函数分为整式和分式，分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．

总结：

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1.先是凑微分法。

2. 是二类换元法 。

3.还有分部积分法和有理函数积分法。

须知

代换法常见的是链式法则。

链式法则也是效果是好的微分方式。

一、√袭(a²-x²) 一般用x=a*sint ，t的范围取-π/2≤t≤π/2，这样可以保证cost恒≥0；或x=a*cost 换元，t的范围取0≤t≤π，这样可以保证sint恒≥0。

二、√(x²-a²)一般用x=a*sect ，∵x²-a² = a²sec²t-a²

= a²(sec²t-1) = a²(sec²t-1) = a²tan²t

sec函数和tan函数的连续区域完全一样，t的范围取0≤t≤π/2，sect的值从1~+∞，对应tant的值从0~+∞，也可直接去除根号，不需要讨论正负。

三、总结：只要换元为三角函数后的的视角变量取值适合，这两种换元都可以不需要讨论去除根号后的正负问题。